Compacidad y conjunto finito de sentencias válidas
Claro, Carlos, puedo proporcionarte una guía paso a paso para resolver este problema utilizando el teorema de compacidad.
Dado que Γ es un conjunto de sentencias tal que toda interpretación hace verdadera al menos una sentencia de Γ, podemos decir que Γ es satisfacible para cualquier interpretación.
Ahora, para demostrar que hay un conjunto finito de sentencias cuya disyunción es una fórmula válida, podemos seguir estos pasos:
1. Construir un conjunto insatisfacible Δ a partir de Γ:
- Agrega a Δ las negaciones de todas las sentencias en Γ. Esto garantiza que no haya interpretación que haga verdaderas todas las sentencias de Δ, ya que haría falsas todas las sentencias de Γ.
2. Aplicar el teorema de compacidad:
- Como Γ es satisfacible, cualquier subconjunto finito de Γ también es satisfacible. Aplicamos el teorema de compacidad para afirmar que Δ es satisfacible.
3. Derivar una contradicción:
- Si Δ es satisfacible, entonces existe un modelo (interpretación) que hace verdaderas todas las sentencias de Δ. Esto implica que dicho modelo hace falsas todas las sentencias de Γ, lo cual es una contradicción.
4. Concluir que hay un conjunto finito de sentencias de Γ:
- Al derivar una contradicción, llegamos a la conclusión de que no es posible que Δ sea satisfacible. Por lo tanto, no es posible que todas las negaciones de las sentencias de Γ sean verdaderas simultáneamente. Esto implica que hay un conjunto finito de sentencias de Γ cuya disyunción es válida.
En resumen, hemos utilizado el teorema de compacidad para construir un conjunto insatisfacible Δ a partir de Γ y hemos demostrado que existe un conjunto finito de sentencias de Γ cuya disyunción es una fórmula válida.
