Publicado el 29 de Julio del 2019
821 visualizaciones desde el 29 de Julio del 2019
3,5 MB
44 paginas
CÁLCULO
TEMA 2
REPRESENTACIÓN DE CURVAS
Representación de curvas
0. Conocimientos previos
Para poder seguir adecuadamente este tema, se requiere que el alumno repase y ponga
al día sus conocimientos en los siguientes contenidos:
Límites
•
• Derivadas
• Dominio de una función
• Máximos y mínimos
•
•
•
•
1. Justificación del estudio
Funciones logarítmicas y exponenciales. Propiedades y operaciones elementales
Polinomios
Funciones polinómicas
Trigonometría: medidas de ángulos, funciones seno, coseno y tangente y
relaciones trigonométricas básicas
Hoy en día el ingeniero de cualquier especialidad se encuentra en su trabajo diario
multitud de gráficas y curvas que debe interpretar o ayudar a interpretar. Estas gráficas
pueden presentarse de varias maneras, bien por la ecuación que las define o bien por una
tabla de valores que permita su representación.
Pero el análisis de curvas es mucho más que la mera construcción gráfica de la misma:
debemos aprender también a interpretarlas, y esto es posible mediante un proceso
sistemático de construcción de las mismas que nos orientará en temas claves como son el
dominio natural de la función, sus asíntotas, puntos significativos, etc.
En el caso de que la función a representar nos venga dada por una tabla de valores, se
aprenderá a ajustar la nube de puntos a un polinomio o una curva siguiendo diferentes
métodos y aplicando después métodos de interpolación para obtener los valores que
necesitemos y no estén de forma explícita representados de forma tabular.
Para estudiar una curva podemos utilizar diferentes métodos de expresión analítica:
En coordenadas cartesianas:
• En forma implítica:
• En forma explícita:
• En forma paramétrica:
• En coordenadas polares:
f (x, y) = 0
y = f (x)
x = x(t);y = y(t)
ρ= f (ϕ)
Tema 2 -
2
-
Prof. Dr. Ignacio García Juliá
Representación de curvas
En lo que sigue, se hará un recorrido sobre los aspectos más importantes que deben
estudiarse de una función para permitir su trazado y su posterior estudio.
Para el estudio y trazado de la gráfica de una función, se seguirán los siguientes pasos:
2.- Estudio de la gráfica de una función
2.1
Dominio
de
la
función 1
Es el conjunto de valores de x para los cuales la función tiene un valor bien determinado.
También puede expresarse en sentido contrario: valores de x que hacen que la función no
exista. Así, por ejemplo, el dominio natural de la función:
y = x4 −2
es el intervalo (-∞,+∞),ya que la función está definida para todos los valores de x. La
función:
x +1
x −1
y =
está definida para todos los valores de x excepto para x = 1, pues este valor anula el
denominador. Esto puede expresarse también del siguiente modo:
D = {x ∈ ! / x ≠ 1}
Para la función , su dominio natural de definición es el intervalo [-1, 1].
y = 1− x2
2.2
Simetrías
f (−x) = f (x)
f (−x) = − f (x)
Tema 2 -
3
-
Prof. Dr. Ignacio García Juliá
Una función es simétrica respecto al eje OY cuando se verifica que
2
3
f (x) = x3 − x
Una función es simétrica con respecto al origen si se verifica que
Por ejemplo, la función es impar ya que:
f (−x) = (−x)3 −(−x) = −x3 + x = −(x3 − x) = − f (x)
Otro ejemplo, la función es par ya que:
También denominado Campo de Existencia o Dominio Natural de de8inición de una función
Cuando
es
simétrica
respecto
al
eje
OY
también
se
dice
que
la
función
es
par
Cuando
una
función
es
simétrica
respecto
al
origen
se
dice
que
la
función
es
impar
g(x) =1+cos(x)
1
2
3
Representación de curvas
g(−x) =1+cos(−x) =1+cos(x) = g(x)
cos(x) = cos(−x)
(recordemos que )
No todas las funciones tienen que ser pares o impares, o lo que es lo mismo, presentar
simetrías. Existen funciones, y de hecho son la mayoría, que no son simétricas, es decir, no
son pares ni impares.
2.3 Máximos y mínimos
1) Condición necesaria para la existencia de un extremo: si la función derivable y = f(x) tiene un
máximo o un mínimo en el punto x = x1, su derivada se anula en ese punto, es decir, f’(x1)
= 0.
2) Condiciones suficientes para la existencia de extremos: supongamos que la función y = f(x) es
continua en un cierto intervalo, al cual pertenece el punto crítico x1, y es derivable en todos
los puntos del mismo. Si al pasar por este punto de izquierda a derecha, el signo de la
derivada cambia de “más” a “menos”, entonces la función admite un máximo en x = x1.
Si al pasar por el punto x1, de izquierda a derecha, el signo de la derivada cambia de
“menos” a “más”, la función admite un mínimo en ese punto.
De modo que:
Si a)
!
#
"
$#
f '(x) > 0 para x < x1
f '(x) < 0 para x > x1
la función tiene un máximo en el punto x1.
Si b)
!
#
"
$#
f '(x) < 0 para x < x1
f '(x) > 0 para x > x1
la función tiene un mínimo en el punto x1.
A continuación se muestra un ejemplo para ilustrar todo lo anterior.
Ejemplo 1: Hallar los máximos y mínimos de la función:
y =
x3
3 −2x2 +3x +1
Tema 2 -
4
-
Prof. Dr. Ignacio García Juliá
Representación de curvas
Primero: hallamos la primera derivada:
y' = x2 −4x +3
Segundo: calculamos las raíces reales de la derivada (f’’(x) = 0)
x2 −4x +3 = 0
Por consiguiente,
x1 = 1, x2 = 3
Tercero: Analizamos los valores críticos.
El primer punto crítico es x1 = 1. Como y’ = (x - 1)(x - 3), resulta que:
para x < 1 se tiene: y’ = ( - ). ( - ) > 0;
para x > 1 se tiene: y’ = ( + ).( - ) < 0;
Esto quiere decir que al pasar (de izquierda a derecha) por el punto x1 = 1, el signo de la
derivada cambia de “más” a “menos”. Por tanto en el punto x1 = 1 la función tiene un
máximo.
y =
(1)3
3 −2(1)2 +3(1) +1 =
7
3
(y)x=1 = 7/3.
El segundo punto crítico es x2 = 3:
para x < 3 se tiene: y’ = ( + ).( - ) < 0;
para x > 3 se tiene: y’ = ( + ).( + ) > 0;
Esto significa que al pasar por el punto x = 3 el signo de la derivada cambia de “menos” a
“más”. Por tanto en x = 3 la función tiene un mínimo, cuyo correspondiente valor de
ordenadas es
y =
(3)3
3 −2(3)2 +3(3) +1 =1
(y)x=3 = 1.
Tema 2 -
5
-
Prof. Dr. Ignacio García Juliá
Representación de curvas
y =
x3
3 −2x2 +3x +1
Figura 2-1. Máximos y mínimos de la
función del ejemplo 1.
Ejemplo 2: Hallar los máximos y mínimos de la función:
Primero:
hallamos
la
primera
derivada,
y' = x2
3
+
2(x −1)
3 x3
=
5x −2
3 x3
Segundo: calculamos los valores críticos de la variable independiente:
5x −2
= 0
,
3 x3
x1 = 2/5;
y encontramos los puntos donde la derivada es discontinua (aquí la derivada se hace
infinita). Así sucede en el punto x2 = 0.
Tercero: analizamos la naturaleza de los puntos críticos obtenidos
(y’)x < 2/5 < 0, (y’)x > 2/5 > 0;
deducimos que en x = 2/5 la función tiene un mínimo. El valor de la función en este punto
es igual a:
= (2
5 −1) 4
253
4
253
3
5
= −
y
x=
2
5
Tema 2 -
6
-
Prof. Dr. Ignacio García Juliá
Representación de curvas
Estudiamos ahora el segundo punto crítico, x = 0.
Como (y’)x < 0 > 0, (y’)x > 0 < 0, deducimos que en x = 0 la función tiene un máximo que es
(y)x = 0 =0.
Figura 2-2. Gráfica de la
función del ejemplo 2.
3) Análisis del máximo y mínimo de una función mediante la segunda derivada: Si f’(x1) = 0,
entonces en x = x1 la función tiene un máximo si f’’(x1) < 0, y un mínimo si f’’(x1) > 0.
Ejemplo 3: Hallar los máximos y mínimos de la función:
y = 2senx +cos2x
2π
Puesto que la función es periódica y tiene un periodo , es suficiente estudiarla en el
intervalo
[0,2π]
a) Hallamos la derivada
y' = 2cosx −2sen2x = 2(cosx −2senxcosx) = 2cosx(1−2senx)
b) Calculamos los valores críticos de la variable independiente:
2cosx(1−2senx) = 0
x1 =
π
6 ; x2 =
π
2 ; x3 =
5π
6 ; x4 =
3π
2
c) Hallamos la segunda derivada:
y'' = −2senx −4cos2x
d)Analizamos la naturaleza de cada uno de los puntos críticos:
Tema 2 -
7
-
Prof. Dr. Ignacio García Juliá
Representación de curvas
π
6
por tanto en el punto tenemos un máximo cuya ordenada es
3
2
y''
x1=
π
6
= −2. 1
2 −4. 1
2 = −3 < 0
x1 =
Luego,
= −2.1+4.1 = 2 > 0
y''
x2=
π
2
Por consiguiente en el punto tenemos un mínimo con ordenada 1.
x2 =
π
2
En el punto tenemos:
x3 =
=1−4. 1
5π
6
2 = −1 < 0
y''
x3=
5π
6
por tanto en este punto tenemos un máximo con una ordenada de
3
2
Y finalmente,
y''
x4=
3π
2
= −2(−1) −4.(−1) = 6 > 0
Consecuentemente, en el punto tenemos el mínimo con una ordenada de -3.
x4 =
3π
2
y = 2senx +cos2x
Figura 2-3. Gráfica de la
función trigonométrica del
ejemplo.
Tema 2 -
8
-
Prof. Dr. Ignacio García Juliá
Representación de curvas
2.4 Estudio de las asíntotas
Una parte fundamental del
Comentarios de: Tema 2. Representacion de curvas (0)
No hay comentarios