PDF de programación - Números y hoja de cálculo V

Números y hoja de cálculo V



Curso 2012-2013



Colección Hojamat.es

© Antonio Roldán Martínez

http://www.hojamat.es



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PRESENT AC IÓ N

No esperaba el autor llegar a un quinto libro sobre el blog “Números y
hoja de cálculo”, pero aquí está. Habrá que pensar que pueden venir
un sexto y séptimo si las circcunstancias de la vida y la edad no lo
impiden. Además, casualmente, este es el resumen que ocupa más
páginas entre todos los publicados.

A partir de ahora desaparecerá el apartado de “Ideas para el aula”, del
que se incluyen sólo dos entradas. Nos ha parecido honrado no opinar
sobre la enseñanza doce años después de no ejercerla de forma
activa. Se queda para el profesorado actual la transmisión de ese tipo
de propuestas. No obstante, algo de lo que se publique tendrá utilidad
en las aulas, pero no se habrá escrito con ese fin.

El tema teórico más desarrollado en este resumen es el de las
Funciones generatrices. Es nuestro deseo que siempre se estudie con
más amplitud algún tema cada curso. El resto de entradas está
repartido entre las cuestiones que más interesan en el blog, con
predominio notable este año de las referentes al conjunto de divisores
de un número. Cuando se comienza un curso no es fácil saber qué
temas va a aportar la actualidad.

Esperamos con esta publicación ayudar a quienes se interesen por los
temas tratados y no posean una formación teórica de nivel superior.
Como siempre, advertimos que estos textos no deben tomarse como
manuales teóricos, sino como un conjunto de exploraciones y
propuestas.



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CONT E NIDO



Presentación .................................................................................... 2

Contenido ......................................................................................... 3

Detalles modulares .......................................................................... 5

¿Qué hay detrás de los decimales periódicos? .............................. 5

Divisores agrupados ..................................................................... 13

De SOPFR en SOPFR ................................................................. 13

Las vueltas que da el SOPFR ...................................................... 17

Volvemos a visitar al mayor divisor impar .................................... 21

Números altamente compuestos.................................................. 23

Retículos en el conjunto de divisores ........................................... 35

No son perfectos, pero sí sus parientes ....................................... 43

Como en casita en ningún sitio .................................................... 53

Números y polígonos .................................................................... 60

Triangulares alojados ................................................................... 60

Carnaval de triangulares .............................................................. 64

Escrito con cifras........................................................................... 70

Mayor divisor propio con la misma suma de cifras ....................... 70

Pandigitales, cromos y Benford.................................................... 73

Sumas y descomposiciones ......................................................... 81

Las sumas de impares ................................................................. 81

Descomposición de un número según una lista ........................... 87

Las sumas de cubos nos llevan a Pitágoras y Pell ....................... 96

Funciones generatrices ............................................................... 107

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Un ejemplo introductorio ............................................................ 107

La teoría .................................................................................... 110

Combinaciones y variaciones .................................................... 116

Particiones y funciones generatrices .......................................... 122

Particiones con sumandos restringidos ...................................... 128

Siempre con la hoja ..................................................................... 133

Una humilde imitación ................................................................ 133

La hoja de cálculo gana cifras .................................................... 138

Algoritmo de Euclides binario ..................................................... 143

Convertir esquemas de cálculo en tablas ................................... 149

Ideas para el aula ......................................................................... 156

Esperanzas en el metro de Madrid ............................................ 156

Medir el mundo con los dedos ................................................... 160

Soluciones ................................................................................... 166

Las sumas de impares ............................................................... 166

Descomposición de un número según una lista ......................... 166



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DET ALLES MO D UL ARES


¿ Q U É H AY D ET R ÁS D E
PER I Ó D I C O S?


L O S D EC I MAL ES

Hace unos meses comentaba con un amigo el tratamiento que se
podía hacer con hoja de cálculo de los decimales periódicos. Ya en
una de las primeras entradas de este blog encontrábamos los
decimales de este tipo

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2008/10/grandes-periodos.html

Lo que no nos planteamos en esa ocasión fue el cálculo del número de
decimales del periodo, su longitud, mediante un cálculo directo, ni
tampoco la del anteperiodo. Lo abordamos hoy mediante la ayuda de
las congruencias y de los restos potenciales.

¿Qué es sacar decimales en una división o en una fracción?

Fundamentalmente se trata de multiplicar los distintos restos por 10 y
hallar su nuevo resto respecto al cociente. Al reiterar el proceso,
cuando este se repita, ya hay periodo. Lo desarrollamos.

Si tenemos una división entera de dividendo D, divisor d, cociente Q y
resto R, sabemos que están
relacionados por D=d*Q+R. Si

multiplicamos R por 10 y volvemos a dividir entre Q (sacar el primer
decimal) obtendremos R*10=d*q1+r1, donde q1 es el primer decimal y r1
el siguiente resto. Si unimos ambas relaciones se obtendrá

D*10=(10*Q+q1)*d+r1

El paréntesis representa el nuevo cociente con un decimal, pero sin
coma, es decir, multiplicado por 10. Ya hemos sacado un decimal.

Si damos otros pasos obtendremos

D*102=(102*Q+10*q1+q2)*d+r2



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D*103=(103*Q+102*q1+10*q2+q3)*d+r3

Y así seguiríamos hasta un resto cero o una repetición de valores que
diera lugar a un periodo.

Desarrollo decimal exacto o periódico

Sabemos desde la enseñanza secundaria que si el divisor sólo posee
los factores primos 2 y 5 el proceso anterior nos lleva a un resto nulo y
al fin del cálculo, lo que llamamos decimal exacto. Si existen otros
factores aparecerá un anteperiodo si entre ellos figuran el 2 o el 5 y
finalmente, el decimal se convertirá en periódico con un periodo inferior
o igual a d-1.

¿Qué hay detrás de estos hechos? Pues los restos potenciales del 10
respecto al divisor.

Los repasamos.

Restos potenciales

Imaginemos las congruencias definidas respecto a un módulo m
(http://hojamat.es/sindecimales/congruencias/teoria/teorcong.pdf) y sea n un
número natural. Llamaremos Restos potenciales de n respecto a m a
los restos producidos por las distintas potencias naturales de n
respecto al módulo m.

Por ejemplo, los restos potenciales de 5 respecto al módulo 3 son:

De 50 el resto es 1, de 51 el resto es 2, de 52 el 1, de 53 el 2, y así
siguen de forma periódica.

Se puede ver muy fácilmente que si se tiene un resto potencial de n
respecto a m, para conseguir el siguiente basta multiplicar el actual
resto de nuevo por n y hallarle el resto respecto a m. No hay que
hallar la potencia completa.

El conjunto de restos potenciales sigue unas pautas muy sencillas:



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1. Si m sólo contiene los factores primos de n, se llegará a cierta
potencia de n que será múltiplo de m y por tanto, a partir de ella, todos
los restos potenciales serán nulos.

Sería el caso, por ejemplo, de los restos potenciales de 60 respecto al
18, cuyos factores primos 2 y 3 lo son también de 60. La potencia k
que consiga que 60k sea múltiplo de 18 producirá un resto cero y al
seguir multiplicando por 60 también serán nulos los restos que
aparezcan.

600 1(mod 18
601 6 (mod 18
602 0 (mod 18
603 0 (mod 18
604 0 (mod 18
…..
Ya todos serían nulos. Hemos tenido que llegar a 60 2 para absorber el
32 que figura en el desarrollo de 18=2*32

(Este desarrollo y los siguientes los puedes comprobar con la
herramienta “Restos potenciales” que puedes descargar desde

http://hojamat.es/sindecimales/congruencias/inicongruencias.htm)

En general, habrá que llegar a la potencia que viene determinada por
el mayor de los cocientes (por exceso si no son enteros) entre los
exponentes de los factores primos de m y sus homólogos en n.

En efecto, si n=paqbrc y m=pa’qb’rc’ supongamos que elevamos n a
un exponente k y que con eso conseguimos que nk sea múltiplo de m.
Esto nos llevaría a que

Nk=( paqbrc)k = pakqbkrck sea múltiplo de m= pa’qb’rc’, que a su vez implica
que ak≥a’, bk≥b’ y ck≥c’, lo que supone que k sea mayor o igual que
los cocientes a’/a, b’/b y c’/c, tal como hemos afirmado: el mínimo valor
de k es el mayor cociente tomado por