PDF de programación - Funciones multiplicativas

Funciones multiplicativas



Edición Octubre-2012

Colección Hojamat.es

© Antonio Roldán Martínez

http://www.hojamat.es



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PRESENT AC IÓ N

Este es el documento más teórico de los publicados hasta la fecha en
la colección. La razón es que las distintas entradas de este tema han
formado parte de una planificación remota en lugar de seguir las
informaciones de actualidad. También puede resultar de un nivel algo
superior al de otros, pero no presenta grandes dificultades para su
comprensión.

En él se incluyen ejemplos de funciones multiplicativas poco frecuentes
en los textos, pero que pueden resultar muy útiles para la comprensión
de los conceptos.

Como advertiremos en todos los documentos de esta colección, el
material presentado no contiene desarrollos sistemáticos, ni pretende
ser un manual teórico. En cada tema se incluirán cuestiones curiosas o
relacionadas con las hojas de cálculo, con la única pretensión de
explicar algunos conceptos de forma amena.



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T AB L A D E C O N TE N ID O

Presentación .................................................................................... 2

Definición y catálogo ....................................................................... 4

Funciones multiplicativas ............................................................... 8

Definiciones ................................................................................... 8

El conjunto de los divisores .......................................................... 12

Parte cuadrada y parte libre ......................................................... 16

Emparedado de cuadrados .......................................................... 19

Cuadrados divisores de N ............................................................ 30

Soluciones ..................................................................................... 33

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DEFINIC IÓ N Y C AT ÁLOGO


F U N C I O N E S A R I T M É T I C AS

Son funciones reales o complejas definidas sobre el conjunto de los
números naturales.

F U N C I O N E S M UL T I P LI C A T I V A S

Una función aritmética es multiplicativa cuando para todo par a y b de
números naturales primos entre sí se cumple que

F(a*b)=F(a)*F(b) (si (a,b)=1, siendo (a,b) el MCD de ambos números)

Si esto se cumple aunque los números no sean coprimos, llamaremos
a la función completamente multiplicativa.

La expresión de una función multiplicativa depende tan sólo de sus
factores primos (y sus exponentes). Usaremos esta notación en todos
los ejemplos:

F U N C I O N E S M UL T I P LI C A T I V A S M ÁS US A D A S



Divisor D(x) o Tau

Cuenta el número de divisores de N

Sigmas



Llamamos función sigma-k(N) a la suma de todos los divisores de N
elevados al exponente k



Su expresión respecto a la factorización es



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Parte cuadrada y parte libre



La parte cuadrada de un número N, PC(N), es el mayor cuadrado que
divide a N. Su expresión respecto a un factor primario es

La parte libre PL(N) es el cociente entre un número y su parte
cuadrada.



Radical de N es el mayor divisor de N libre de cuadrados. Equivale al
producto de todos sus factores primos elevados a la unidad.



Menor múltiplo cuadrado MMC(N): Como indica su nombre, es el

menor cuadrado divisible entre N



Suma de las partes cuadradas SPC(N): Suma las partes cuadradas
de todos los divisores de N. Su expresión para un factor primario es

Si e es par:

Si e es impar:



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Suma de partes libres SPL(N): Suma las partes libres de los divisores
de N. Su expresión para primarios es:

Si e es par:

Si e es impar



Suma de mínimos múltiplos cuadrados SMMC(N): Como las

anteriores, suma a lo largo de los divisores. Para primarios:

Si e es par

Si e es impar



Suma de los divisores cuadrados de un número N:



Indicatriz de Euler

La función (n) (indicatriz o indicador de Euler) es el cardinal del
conjunto de elementos inversibles en Zn o bien el conjunto de
números coprimos con n y menores que él contando el 1.



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La función indicatriz de Euler es multiplicativa, porque si m y n son
coprimos, se cumple que

(m). (n) = (m.n)

Su fórmula explícita es

(pi son sus factores primos)

Función de Moebius μ(n)


Se define así:



Si n no es libre de cuadrados, μ(n) = 0

Si no contiene ningún cuadrado como divisor, μ(n) = 1 si posee un

número par de factores primos distintos y μ(n) = -1 si ese número es

impar.



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F UNCIO NES MULT IPL IC AT IV AS

D EF I N I C I O N ES

Este tema de las funciones multiplicativas está muy bien tratado en
muchos manuales y páginas web, entre ellas la referida más arriba.
Por eso, en estas entradas no nos limitaremos a repetir el tratamiento
teórico, sino que abordaremos los temas mediante esquemas,
cálculos, búsquedas o curiosidades. Los lectores no deben buscar en
ellas los fundamentos teóricos, porque sólo aparecerán sintetizados.
Así constituyen una invitación a la profundización teórica.

Comenzamos con unas definiciones:

Funciones aritméticas

Son funciones reales o complejas definidas sobre el conjunto de los
números naturales.

Por tanto, toda función aritmética admite una representación como una
sucesión de números (enteros, reales, complejos…)

Por ejemplo, la sucesión siguiente (representada como una
correspondencia con los naturales) representa a la función “mayor
divisor propio”. En efecto, repasa la tabla y observarás que los
números de abajo son los máximos divisores propios de los de arriba.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 1 1 2 1 3 1 4 3 5

1

6

1

7

5

8

1

9

1

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Con frecuencia usaremos esta notación u otra similar para representar
funciones aritméticas.



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Funciones multiplicativas

Una función aritmética es multiplicativa cuando para todo par a y b de
números naturales primos entre sí se cumple que

F(a*b)=F(a)*F(b) (si (a,b)=1, siendo (a,b) el MCD de ambos números)

Si esto se cumple aunque los números no sean coprimos, llamaremos
a la función completamente multiplicativa. Por ahora no las
consideraremos.

Hoy lo explicaremos con un ejemplo sencillo: la función Tau, que es la
que cuenta los divisores de un número, y que por comodidad
tipográfica designaremos por D(n), ya que es parte de la familia de las
funciones divisor o sigmas

(ver http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/02/la-familia-de-las-sigmas-1.html)

Así, D(15)=4, porque admite los divisores 1, 3, 5 y 15. De igual forma,
D(28)=6, ya que dividen a 28 los números 1, 2, 4, 7, 14 y 28

Pues bien, como 15 y 28 son coprimos, resulta que D(15*28)=24, como
puedes comprobar. Más tarde lo razonaremos en general.

A partir de aquí podremos publicar tablas de doble entrada en las que
practicar y hacer comprobaciones con las funciones multiplicativas.
Aquí tienes la primera, dedicada a la función Tau:

En la tabla sólo aparecen los valores de los productos cuando los dos
factores son primos entre sí. Se ha elegido el rango de 20 a 30 porque



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en el mismo disponemos de gran variedad de números: primos,
semiprimos, cuadrados…

Repasa algunos valores, calcúlalos si lo deseas y comprueba el
carácter multiplicativo de Tau.

Propiedades de las funciones multiplicativas

(1) Si una función es multiplicativa se dará que F(a*1)=F(a)*F(1), luego
deberá ser F(1)=1

A veces esta propiedad no está clara en alguna función, porque puede
que no acabe de tener mucho sentido aplicarla a la unidad. En ese
caso se suele definir directamente: F(1)=1.

En nuestro ejemplo D(1)=1 porque 1 sólo tiene un divisor.

(2) Si una multiplicativa está definida para cada potencia de un primo,
lo estará para todo número natural, pues aplicando la función a la
factorización

Por su carácter multiplicativo se tendrá



Puedes seguir los detalles en los documentos teóricos. En ellos
también se demuestra lo siguiente, que es fundamental para manejar
funciones multiplicativas:

Si una función aplicada a N actúa de igual forma e independientemente
para cada factor de N del tipo pr, siendo p un factor primo de N y r su
exponente (factor primario) y después multiplica los resultados, esa
función será multiplicativa

Si recuerdas la Teoría de la Divisibilidad, la función Tau tiene un
desarrollo muy sencillo, que es el producto de los exponentes en la
factorización aumentados en una unidad:



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Sólo por este desarrollo ya se habría adivinado que es multiplicativa.

(3) El producto de dos multiplicativas también es también multiplicativo

Consúltalo, pero con un poquito de Álgebra comprenderás esta
propiedad.

(4) En esta propiedad hay que detenerse un poco, aunque no la
demostraremos (busca, busca…): Si g(x) es una función multiplicativa,
entonces, la función f(n) definida por



(el sumatorio recorre todos los divisores de n), también es
multiplicativa. Omitiendo detalles, la base de esta propiedad está en
que los divisores de un producto de dos números coprimos M y N son
productos de dos divisores, uno de M y otro de N, y al final la suma de
productos coincidirá con el producto de sumas. ¿Es difícil de entender?
Pues busca el desarrollo en cualquier manual o página que lo explique.

Nosotros lo comprobaremos en el caso de la tau para dos números
concretos. Esto no demuestra nada, pero te ayudará a crearte una idea
del proceso.



Ves que arriba hemos escrito los divisores de 105 y debajo de cada
uno su número de divisores. Nos dan una suma de 27. Hemos
efectuado la misma operación con 22 y nos suman 9. El producto de
ambos (nótese que son coprimos) es 2310, que tiene 32 divisores (era



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de esperar ¿no?) y sus divisores suman 243, que es precisamente el
producto de 27 por 9, luego en es