PDF de programación - Introducción a Maxima

Introducción a

Maxima

Miguel Arsuaga Franco
Rosa Ramos Palanco
Lic. CC. Matemáticas

Profesores del Departamento de Matemáticas

del I.E.S. Almunia de Jerez de la Frontera

Indice de materias

Presentación

Table of Contents

A quién va dirigido este documento
Breve historia de Maxima
Otras consideraciones

Normas básicas

Descripción de la pantalla
El navegador NetMath
Órdenes
Modos de cálculo

Aritmética

Operadores aritméticos

Funciones predefinidas

Algunas constantes útiles
Exponenciales y logarítmicas
Trigonométricas
Otras funciones interesantes

Álgebra

Operaciones con polinomios y razones algebraicas.
Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Inecuaciones

Matrices y determinantes

Operaciones

Análisis

Sucesiones
Funciones. Composición de funciones
Funciones a trozos:
Límites de funciones
Derivadas
Integrales

Gráficos

¿Cómo verlos?
Gráficos bidimensionales
Gráficos tridimensionales

Consideraciones finales
Recapitulemos
Materiales
Derechos de copia

1

3

5

7

1
1
1

3
3
3
4

5

7
7
7
9

11

15

17

21

25

11
12
14

15

17
17
18
18
19
19

21
21
24

25
25
25

Introducción a Maxima - Presentación

Presentación

Maxima es un programa de cálculo simbólico bajo licencia GNU-GPL.
Es, por tanto, software libre en su doble acepción: está disponible el código
fuente para que todo el que lo desee adapte el programa a sus propias necesi­
dades y es gratuito por lo que es posible distribuirlo libremente a cuantos es­
tuvieren interesados en el mismo.
Además puede ejecutarse sobre diferentes sistemas operativos, entre otros las
diversas versiones de MS-Windows y de Linux.

A quién va dirigido este documento

Esta introducción a Maxima tiene por destinatario a los alumnos de Matemá­
ticas I y II de lo que queda del Bachillerato de Ciencias y, por extensión, a to­
dos los alumnos y profesores a los que pueda servir de ayuda.
No cubre, por tanto, muchas de las capacidades del programa sino que se res­
tringe a los contenidos básicos del bachillerato y, dentro de estos contenidos
se ha procurado recurrir a ejemplos sencillos para que todos los alumnos pue­
dan seguir este manual, aunque su nivel de competencia en la materia sea ba­
jo.
Para la Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad, tanto para va­
riables discretas como continuas, Mario Rodríguez Riotorto ha preparado dos
paquetes, descriptive.mac y distrib.mac que se pueden descar­
gar desde www.biomates.net junto a la documentación y archivos con datos
muestrales. Un estudio de los mismos y algo de tiempo disponible nos permi­
tirán ampliar este manual con aquellas funciones que hagan referencia a los
contenidos en el Bachillerato.

Breve historia de Maxima

El proyecto Matemáticas y Computación (MAC) se inicia en la década de los
60 del siglo pasado en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT),
con el apoyo financiero, entre otros, de los departamentos de defensa (DOD),
de Energía (DOE) y de la Agencia de Proyectos de Investigación Avanzada
(ARPA) para atender a las necesidades de cálculo matemático de físicos, in­
genieros y técnicos en general.
A finales de la década, el proyecto/programa Macsyma (MAC symbolic ma­
nipulator) se convierte en el primer programa de cálculo simbólico. Desarro­
llos posteriores dieron origen a múltiples variantes. Una de ellas es Maxima,
heredera del DOE-Macsyma, que ha sido mantenida por el Dr. Wiliam Shel­
ter de la Universidad Austin de Texas hasta su fallecimiento, fecha en la que
un equipo de seguidores Ha asumido su mantenimiento y desarrollo. En octu­
bre de 1998 el DOE autorizó la distribución de Maxima bajo licencia GNU-
GPL. Las actualizaciones del programa y de su documentación están disponi­
bles en http://maxima.sourceforge.net/.

Otras consideraciones

Hay ligeras diferencias entre la versión utilizada en este documento y la in­
cluida en Guadalinex. Por ejemplo: las líneas de comando C1 y de respuesta
D1 son ahora %i1 y %o1 (input y output). Más adelante veremos que son mo­
dificables por el usuario.

Página 1

Introducción a Maxima - Otras consideraciones

Está disponible la extensión wxMaxima que le da un aspecto al programa que
recuerda a Derive y que permite introducir las órdenes más frecuentes me­
diante botones y opciones de menú. Es una ayuda que agradecemos los que
no somos buenos mecanógrafos. Esperemos que sea incluida en Guadalinex.

Ilustración 1: Ventana de inicio de xMaxima

Ilustración 2: Ventana de inicio de xMaxima

Ilustración 3: Ventana de Inicio de wxMaxima

Página 2

Introducción a Maxima - Normas básicas

Normas básicas

Descripción de la pantalla

Como puede observarse en la ventana de inicio de xMaxima, ésta se divide en
dos ventanas.
En la ventana superior es donde introducimos las órdenes que el programa
procesará. Las órdenes se numeran de forma automática %i1, %i2, etc. y
las respuestas correspondientes %o1, %o2, etc.
Podemos hacer referencia a resultados anteriores por su etiqueta. Si se trata
del resultado inmediatamente anterior basta %.
Las variables inchar y outchar controlan las etiquetas de entrada y salida. Ob­
serva el siguiente ejemplo:

Ilustración 4: Cambiando las etiquetas de entrada y salida

El navegador NetMath

La ventana inferior es un navegador, NetMath, muy limitado pero eficiente.
Es posible desactivarlo seleccionando [Options] → [Toggle Brow­
ser Visibility], de esta forma dispondremos de un espacio de trabajo
con más líneas visibles. Para recuperarlo basta repetir la orden anterior.
Abriremos páginas web utilizando el habitual http://dirección completa de in­
ternet.
Abriremos archivos sustituyendo http por file y proporcionando la ruta com­
pleta y nombre del archivo.
En esta ventana es posible abrir documentos .htm preparados para ejecutar
comandos. Los resultados pueden visualizarse en el propio documento o en la
consola. La página de inicio es un ejemplo muy completo; contiene enlaces a
la documentación de maxima, por la que podemos navegar, y ejemplos de co­
mandos. Anímate a experimentar con ella.

Órdenes

Las órdenes en Maxima terminan con “;”.
Si no deseamos que el resultado de una orden aparezca terminaremos con $.

Página 3

Introducción a Maxima - Órdenes

Es posible introducir varias órdenes en una línea.
Todo lo que introduzcamos entre /* y */ será ignorado por Maxima, lo que
nos permite comentar las órdenes.
Para asignar valor a una variable utilizamos “:”. variable:valor.
Para definir una función usaremos “:=”. función:=definición.

Ilustración 5: Órdenes en Maxima. Variables y funciones.

Cuando dejemos de usar una variable conviene “matarla” con la función
kill(nombre de la variable) para no llevarnos sorpresas.

Modos de cálculo

Por defecto, Maxima hace cálculos exactos. La orden numer nos da el valor
aproximado. También podemos hacer esto con float.
Podemos fijar la precisión de los cálculos asignando el valor deseado a la va­
riable fpprec y obtener el valor deseado en notación científica con bflo­
at. Observa el siguiente ejemplo:

Página 4

Introducción a Maxima - Aritmética

Aritmética

Operadores aritméticos

Ilustración 6: Aritmética con Maxima

Página 5

Introducción a Maxima - Operadores aritméticos

La suma (+) y la resta (-), el producto (*), el cociente (/) y las potencias (^)
usan los mismos operadores que la mayoría de los programas (por ejemplo:
las hojas de cálculo). La raíz cuadrada puede calcularse con la función sqrt
(square root), el resto de las raíces habrá de calcularse como exponentes frac­
cionarios.
Para efectuar la división entera disponemos de divide(dividen­
do, divisor). Nos devuelve una lista con el cociente y el resto. Si única­
mente necesitamos uno u otro usaremos quotient o remainder respecti­
vamente.
Podemos averiguar si un número es primo, o no con la función primep.
Para descomponer en factores primos usaremos factor. Las funciones gcd
(greatest common divisor) y lcm (least common multiple) permiten obtener
el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, respectivamente. Para
calcular éste último es preciso cargar previamente el paquete functs. Maxi­
ma avisa de que ello supone redefinir algunas funciones. No le hacemos mu­
cho caso.
Todo lo anterior queda explicado con la Ilustración 6.

Página 6

Introducción a Maxima - Funciones predefinidas

Funciones predefinidas

Algunas constantes útiles

Se utilizan:

• %E para el número e
• %pi para el número 
• %i para i= −1

Exponenciales y logarítmicas

Maxima utiliza el logaritmo natural (neperiano) como función logarítmica
predefinida.. Es posible definir una función alternativa, le hemos llamado
logb(x,b), para calcular logb
Conviene observar que tal función puede utilizarse para obtener el antilogarit­
mo o la base logarítmica. En el segundo caso, conviene simplicar con la fun­
ción radcan.
Las funciones exponenciales se introducen con el operador ^.

x.

Ilustración 7: Cálculo de logaritmos

Trigonométricas

Las usuales funciones trigonométricas y sus respectivas inversas arco ... están
definidas en Maxima pero, eso sí, sus argumentos son radianes. Si se desea
calcular el seno, por ejemplo, de un ángulo expresado en grados sexagesima­
les u obtener los ángulos de las inversas en grados habrá que definir las co­
rrespondientes funciones.

Página 7

Introducción a Maxima - Trigonométricas

Las funciones trigonométricas más usuales predefinidas en Maxima se rese­
ñan a continuación.
sin
Seno
cos
Coseno
tan
Tangente
sec
Secante
csc
Cosecante
cot
Cotangente
asin Arco-seno
acos Arco-coseno
atan Arco-tangente
asec Arco-secante
acsc Arco-cosecante
cot

Las funciones trigsimp, trigrat, trigreduce y trigexpand reali­
zan diferentes simplificaciones y/o transformaciones trigonométricas, experi­
menta con ellas.

Cotangente

Página 8

Introducción a Maxima -

Otras funciones interesantes

abs(x)
min(x1,x2,...)
max(x1,x2,...)

signum(x)

x!
binomial(m,n)
abs(x)
exp(x)

Valor absoluto de x
Valor mínimo de una lista de valores
Valor máximo de una lista