PDF de programación - ARITMÉTICA - NÚMEROS NATURALES

ARITMÉTICA - NÚMEROS NATURALES



CONTENIDO

Aritmética - Números naturales ................................................................................................................... 1

Contenido ................................................................................................................................................. 1

Introducción ............................................................................................................................................. 2

Fundamentos ............................................................................................................................................ 2

Axiomas de Peano ................................................................................................................................ 2

Operaciones con números naturales.................................................................................................... 2

Orden en N ........................................................................................................................................... 3

Sistemas de numeración ...................................................................................................................... 4

Potencia de un número natural con exponente natural ...................................................................... 5

Principio de inducción completa .......................................................................................................... 6

Curiosidades ............................................................................................................................................. 7

Cuadrado mágico .................................................................................................................................. 7

Números figurados ............................................................................................................................... 8

Ternas pitagóricas .............................................................................................................................. 28

Conjutos de Sidon y Golomb .............................................................................................................. 29

Temáticos ............................................................................................................................................... 30

Sucesiones .......................................................................................................................................... 30

Sucesiones recurrentes ...................................................................................................................... 31

Cuestiones diofánticas ............................................................................................................................ 39

Ecuación diofántica lineal ................................................................................................................... 39

Ecuación pitagórica ............................................................................................................................ 40

Fracciones continuas .......................................................................................................................... 40

Sumas de cuadrados ........................................................................................................................... 46





INTRODUCCIÓN

En este documento sólo se incluyen conceptos que permiten una cierta experimentación
lúdica. No es posible incluir aquí un tratado sobre números naturales. Se inicia con una síntesis
de los conceptos fundamentales sobre números naturales, para pasar a las operaciones y
sistemas de numeración, dedicando la segunda parte igualmente a conceptos
complementarios, que se sitúan aquí si no tienen cabida en las otras guías teóricas.

Debe, por tanto, considerarse este documento como una colección de temas interesantes,
pero que no han de seguir un orden estructurado.

FUNDAMENTOS

AXIOMAS DE PEANO

Existe un conjunto N compuesto por elementos llamados números naturales, relacionados
entre sí por la relación "ser siguiente o sucesor " m= sg(n) que cumple estos cinco axiomas.

1. 1 es un número natural.
2. Si a es un número natural, entonces sg(a) también es un número natural
3. 1 no es siguiente de ningún número natural. (El 1 es el primero, no tiene precedentes)
4. De la igualdad sg(a)=sg(b) se deduce que a=b (Dos números diferentes no pueden

tener el mismo siguiente)

5. Axioma de inducción: si un conjunto C de números naturales contiene al 1 y a los

siguientes de cada uno de sus elementos entonces C=N (es decir, pertenecerían a él
todos los números naturales)

Estos axiomas cumplen la compatibilidad, independencia y completitud.

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

A partir de los axiomas de Peano se define la suma de dos números naturales a+b mediante las
definiciones a+1 = sg(a) y a+sg(b)=sg(a+b). A partir de esta definición se demuestra que es una
operación interna con las propiedades

Asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c
Conmutativa: a+b=b+a
Cancelativa: Si a+c = b+c, entonces a=b

Esta última propiedad permite definir la resta, como a-b=x si y solo si b+x=a. Esta operación no
es cerrada, porque si a es menor que b, no se pueden restar.

La multiplicación de dos números naturales se define a partir de: a*1=a y a*sg(b)=a*b+a

Esta operación posee las propiedades





Asociativa: a*(b*c) = (a*b)*c
Conmutativa: a*b=b*a
Elemento neutro: a*1=1*a=a
Distributiva respecto a la suma: a*(b+c) = a*b + a*c
Cancelativa: Si a*c = b*c, entonces a=b

Estas propiedades dotan al conjunto N de la estructura algebraica de anillo conmutativo con
unidad.

La propiedad cancelativa permite definir la división exacta como a/b = x si y solo si b*x=a. Esta
operación tampoco es cerrada.

Se define también la división entera como la operación, para dos números naturales a y b, que
encuentra un cociente q y un resto r<b tales que a=b*q+r. Se puede demostrar que esta
operación siempre es posible.

ORDEN EN N

Dados dos números naturales a y b, diremos que a es menor que b si existe otro número
natural x tal que a+x=b

Igualmente, diremos que a es menor o igual que b si a es o bien menor o bien igual que b (en
modo texto lo representamos como a<=b)

Esta relación es de orden, porque presenta las propiedades

Reflexiva: a<=a para cualquier a natural
Antisimétrica: Si a<=b y b<=a , entonces a=b
Transitiva: Si a<=b y b<=c, entonces a<=c

Este orden es total, porque dados dos números naturales a y b, se cumple siempre o que a<=b
o que b<=a

El orden establecido por la relación <= posee la propiedad monótona respecto a la suma y el
producto: Si a<=b, entonces a+c<=b+c y a*c<=b*c

Igualmente, el conjunto N está bien ordenado para la relación <=, porque todo subconjunto de
N no vacío posee un elemento mínimo.





SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Los números naturales, por su infinitud, necesitan un sistema de representación a partir de un
número finito de símbolos. Para eso se inventaron los sistemas de numeración, como el
romano, el decimal, etc.

Sistemas posicionales

Un sistema de numeración basado en la posición relativa usa la llamada Base del sistema, que
es el número de unidades de orden inferior necesarias para obtener una unidad de orden
inmediato superior. A esto órdenes les llamamos unidades, decenas, centenas,…De esta
forma, existirán tantos sistemas de numeración como bases distintas sean posibles, es decir,
infinitas. Los más populares son los de bases 10 (decimal), 2 (binario), 8 (octal) y 16
(hexagesimal). La expresión de un número en una base se termina con un paréntesis y la base:
111010(2, 66523(8

La base de la expresión de un número N en una base B es lograr el desarrollo polinómico

N = C0Bk + C1Bk-1 +…+ Ck-1*B + Ck en el que los coeficientes Ci sean todos más pequeños
que la base, positivos o nulos.

Según esto, el verdadero valor de C0 es C0Bk, el de C1
llama sistema posicional. Además, así se cumple que cada unidad es B veces mayor que la
anterior, porque son potencias todas de B.

C1Bk-1 y así con todas. Por eso se



será

Para poder usar los sistemas de numeración hay que admitir el número 0, como representante
de un lugar vacío en la expresión de un número.

En un sistema de numeración en base B se necesitan B símbolos para las distintas cifras, pues
son el cero y todos los posibles restos menores que B, así {0,1} para el binario, {0,1,2} para la
base 3…Si la Base es mayor que 10 se añaden letras mayúsculas A, B, C, D…como cifras.

La expresión de un número N en un sistema de base B se logra por el método de las divisiones
sucesivas:

 Mientras N sea mayor que la base B

o Dividir de forma entera N entre B
o El resto se toma como nueva cifra a la derecha
o El cociente como nuevo valor de N

 Cuando N llegue a ser menor que B, él será la primera cifra de la expresión.

Por ejemplo, para expresar 2013 en base 7: 2013\7=287 y resto 4; 287/7=41 y resto 0; 41/7=5
y resto 6. Como primera cifra tomamos el último cociente 5.





Efectivamente, así se cumple el desarrollo polinómico 2013=5*73+6*72+0*7+4, como se puede
comprobar con facilidad.

La operación inversa, de pasar de una expresión en una base a la expresión decimal usual se
hará cambiando la división por multiplicación y los restos por sumas:

Para pasar 45541(6 a base diez: 4*6+5=29; 29*6+5=179; 179*6+4=1078; 1078*6+1=6469

Sistemas no posicionales

Los sistemas de numeración aditiva son aquellos en los que los valores de los símbolos se
suman, sin que influya la posición relativa, como el sistema romano.

Números especiales según sus cifras

Llamamos reverso o simétrico de un número natural a otro número que contiene las mismas
cifras pero en orden opuesto, en una base dada. Si n