Delphi - RE:ayuda por favorguardar datos en un dbgrid

prueba con Insert en ves de append, si lo q quieres es guardar un nuevo registro.

Ademas mi amigo date cuenta q le estas indicando q no guarde nada ya q antas de hacer la asignacion:
with Form1.Tabla1 do begin
append; // Ponemos la tabla en modo insertar...
FieldByName('Usuario').asstring := Usuario_usuario; // Ponemos el usuario
FieldByName('NombreCompleto').asstring := NombreCompleto_usuario; // Ponemos el nombre completo
FieldByName('Descripcion').asstring := Descripcion_usuario; // Ponemos su descripcion.
FieldByName('Clave').asstring := Clave_usuario; // Ponemos el contraseña.
post; // Guardamos los cambios.
end;
end;

le estas indicando a Delphi q las variables deben estar vacias:
Usuario_usuario:='';
NombreCompleto_usuario:='';
Descripcion_usuario:='';
Clave_usuario:='';
portanto y demas no hay nada q guardar. si deseas guardar algo debes asignarselo a las variables no vaciarlas.

Ejemplo: Usuario_usuario:='Emilio';
NombreCompleto_usuario:='Emilio García Granda';
Descripcion_usuario:='Programador';
Clave_usuario:='Ibrink Gold';

Luego lo demas y listo se te guardaran los valores. Chaooo...