Lógica - Ayuda en resolver teoremas por sistemas axiomaticos

Sistema de Kleene (A1) (P→( Q →P))
(A2) (P→ Q) → [(P→(Q→R)) →(P→R)]
(A3) [P → (Q → (P∧Q))]
(A4) (P∧Q)→P ó (P∧Q) →Q
(A5) P →(P ∨ Q) ó Q →(P ∨ Q)
(A6) (P→R) → [(Q → R) → ((P ∨ Q)→R)]
(A7) (P→Q) →((P→¬Q) →¬P)
(A8) ¬¬P→P

Se me dificulta resolver estos teoremas

1) A ∨ B ⊢ B ∨ A

2) A → B, B → C ⊢ A → C

Ángel, para demostrar estos teoremas utilizando los axiomas del sistema de Kleene, puedes aplicar reglas lógicas básicas como la conmutatividad, transitividad e introducción de la disyunción e implicación. Aquí están las demostraciones:

Demostración 1:

A ∨ B ⊢ B ∨ A

1. A ∨ B (premisa)
2. A (disyunción eliminación: de 1)
3. B ∨ A (disyunción introducción: de 2)

La demostración utiliza la propiedad de conmutatividad de la disyunción (A1).

Demostración 2:

A → B, B → C ⊢ A → C

1. A → B (premisa)
2. B → C (premisa)
3. A (suposición)
4. B (modus ponens: de 1 y 3)
5. C (modus ponens: de 2 y 4)
6. A → C (introducción de la implicación: de 3 y 5)

La demostración utiliza la propiedad de transitividad de la implicación (A6).

Estas demostraciones son ejemplos básicos y pueden variar dependiendo del conjunto específico de axiomas y reglas que estés utilizando en el sistema de Kleene. Asegúrate de ajustar la demostración según las reglas y axiomas particulares de tu sistema lógico.