MySQL - Conectarse remotamente al localhost de una pc

Estuve realizando un aplicativo web y uno móvil, ambos comparten la misma base de datos, la cual creé en MySQL y la consumo mediante una API REST creada en Node.js, para brindarle los servicios a los aplicativos, hago pruebas de manera local y todo funciona bien. Ahora necesito poner en producción eso, para eso adquirí un servidor Windows en Azure. El problema radica en que pensé que sería lo mismo, solo cambiar la IP local por la nueva suministrada por Azure, instalar MySQL y montar la base de datos, y crear nuevamente la API. Pero no funciona. Por favor, alguien que me pueda ayudar con esto. Si creen que hay una mejor manera de hacer lo que pretendo con las herramientas que poseo, le agradecería que me indicaran cómo hacerlo. De antemano, gracias.

Diego, no es solo cambiar la IP, el WS API REST tienes que publicar en un servidor de aplicaciones público, en Azure podría ser ó en algún servidor público, todo tienes que ser con el IP pública.
Me imagino que para tus pruebas locales todo configuraste en PC en red local, todo interno.
Yo tengo funcionando en un VPS bajo CentOS y BD MySQL.

Buenas como alternativa si no tienes ip publica, prueba hamachi, no es rapido pero funciona. yo lo uso para enlazar equipos.