Unix - bucle while

Estoy haciendo un programa con el cygwin (no tengo linux ni unix) que me han mandado en la universidad y estoy atascado con un bucle while:
fin=5
VAL=1

while [ "$VAL" != "$fin" ]
do
echo $VAL
VAL = 'expr $VAL + 1'
done
exit

cuando lo ejecuto, al llegar al incremento de la variable VAL (VAL = 'expr $VAL + 1') me dice "VAL not found". He probado de todo pero no soy capaz de incrementar la variable. Ayuda....
gracias

Creo que las comillas del expr (') no son las adecuadas, son las de ejecucion (`), a parte no se como respondera a que pongas espacios entre la variable, el igual y el igual y las comillas de ejecucion

```````` y no '''''''''''''''
VAL='expr $VAL + 1' y no VAL = 'expr $VAL + 1'