El problema es muy obio, cuando creas tu aplicacion y la ejecutas en una maquina con delphi, este proporciona toda la informacion de tus componentes(propiedades, metodos, librerias, dll's, etc), pero cuando lo tratas de ejecutar en otra maquina no existen esos componentes registrados en el equipo, no basta con crear el odbc ni ponerlo en la misma ruta.
La solucion es que crees un programa de instalacion para que se empaqueten todos los componentes y luego se instalen y se ejecuten en el equipo que tu quieras aun sin tener delphi, yo trabajo con la version 5, ahi viene una utileria que se llama InstalShield, con ese puedes crear tus programas de intalacion para tus aplicaciones, busca un Free en Google que se llama InnoSetup, tambien es muy bueno, si lo deseas mandame un correo y te enviare un tutorial de como utilizar el Instalshield, es muy facil, luego si quieres te muestro co crear un CD con Autorun, para que nadamas introducor el CD en el lector arranque la instalacion automatica de de tu programa
Saludos