Entiendo, en ese caso puedes hacer uso de la palabra reservada
global para acceder a la variable. Esa seria la solucion pero lo que no entiendo es porque haces un extends a mysqli, pense por un momento que era una clase tuya pero recorde que es posible heredar tambien de la clase mysqli de PHP, no se si aquello lo tienes muy claro, lo que te recomiendo es que si estas iniciando no implementes cosas que no entiendes al 100%.
No hagas ese extends porque no es que estas accediendo de esa forma a la variable $mysqli si no mas bien a la clase mysqli de PHP !!
Echale un ojo a esto:
http://php.net/manual/es/mysqli.construct.php
Aunque creo que mejor te conviene reforzar tu conocimiento en POO.
Ahora bien con respecto a la solucion, lee esto:
http://php.net/manual/es/language.variables.scope.php
Y si quieres seguir manteniendo aquella clase de esa forma, la solucion que te decia es algo asi:
Luego puedes usar la propiedad normalmente con $this.