Temas de PHP - Ejemplo de uso de una API con PHP y cURL

Recuerdo que cuando tuve que desarrollar mi primera aplicación REST que usase una API me encontré un poco perdido y no encontraba un ejemplo sencillo de como empezar. Recientemente he tenido que actualizar una aplicación que usa la API de traducción de textos de Microsoft y quiero aprovechar para poner un ejemplo sencillo, sin meterme a explicar las tecnologías ni teoría. Dado que no quiero profundizar mucho, creo que con mínimos cambios esto serviría para cualquier API. Yo usaré PHP para los ejemplos, así que si no es vuestro lenguaje tendréis que refactorizarlo.