RE:Local Host como servidor???
Si tienes router entonces debes forwardear el puerto del servidor web, generalmente es el 80. Eso lo haces en el router (esta característica suele llamarse "port forwarding" o "virtual server" o "PAT/NAT", deberás consultar el manual de tu router, cada marca y modelo es diferente).
Lo que hace esto es cada vez que llega una conexión entrante desde Internet al router al puerto 80, el router redirecciona esa conexión a la IP que le indiques, que obviamente debe ser la IP privada de tu PC. Otro detalles es que tu PC debe tener IP privada fija y no obtenida automáticamente.
En tu PC podrías poner la IP fija 10.0.0.5 y en el router indicarle que las conexiones entrantes al puerto 80 redireccionarlas (forwardearlas) a esa IP.
El servicio no-ip.com lo que hace es crear un DNS dinámico con la IP pública de tu router, de forma tal que no necesitas saber la IP pública todo el tiempo sino solo el dominio que te asigna no-ip.com, que tiene la forma "nombredeusuario.no-ip.com", entonces en cualquier otra máquina con solo ingresar eso en el navegador estarás accediendo a tu PC. Así que sí, créate una cuenta en no-ip.com y baja e instala en programita que ellos te dan (se llama DUC)
Otro detalle es que debes habilitar el firewall para que deje pasar conexiones entrantes al mismo puerto que forwardeas en el router.