PDF de programación - Panorama del curso Métodos Numéricos I

Panorama del curso
Métodos Numéricos I

Egor Maximenko

ESFM del IPN

2014

Egor Maximenko (ESFM del IPN)

Métodos Numéricos I

2014

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Contenido

1 Propósito y programa del curso, software y literatura

2 Panorama del curso

Preliminares
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Raíces de ecuaciones no lineales
Interpolación polinomial
Temas no incluidos en el curso

3 Tarea de casa

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Contenido

1 Propósito y programa del curso, software y literatura

2 Panorama del curso

Preliminares
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Raíces de ecuaciones no lineales
Interpolación polinomial
Temas no incluidos en el curso

3 Tarea de casa

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Matemáticas discretas

Matemáticas continuas

Comprender

Comprender

Calcular

Calcular

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Matemáticas discretas

Matemáticas continuas

Comprender

Comprender

Calcular

Calcular

Métodos numéricos

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Numerical analysis is the study of algorithms
for the problems of continuous mathematics.
Lloyd N. Trefethen

Propósito del curso:
Analizar algoritmos para obtener soluciones numéricas
de los problemas típicos de matemática continua,
incluso en las situaciones cuando la solución exacta no existe o es difícil de
conseguir, minimizando el número de operaciones aritméticas y los errores.

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Programa del curso y sistema de calificaciones

Cuatro unidades:
Preliminares.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Raíces de ecuaciones no lineales.
Interpolación polinomial.

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Programa del curso y sistema de calificaciones

Cuatro unidades:
Preliminares.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Raíces de ecuaciones no lineales.
Interpolación polinomial.

Cada calificación parcial consta de las siguientes partes:

examen escrito (65 %),
tareas individuales (20 %),
programas escritos por los estudiantes (15 %),
participación (hasta 10 %),
tareas adicionales (entregar soluciones de problemas teóricos).

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¿Qué aprenden los estudiantes en este curso?

El curso de Métodos Numéricos I tiene los siguientes aspectos:

1 Algorítmos: resolver en papel ejercicios típicos

para aprender bien las ideas de algoritmos de métodos numéricos.

2 Programación: programar los algoritmos principales

en algún lenguaje de programación.

3 Teoría: comprender cómo deducir algunas de las fórmulas,

cómo acotar los errores y cómo calcular el número de operaciones.

4 Aplicaciones: ver cómo se aplican métodos numéricos

en otras ramas de matemáticas y en otras ciencias.

En mi curso practicamos los algoritmos, conocemos algo de la teoría
y escribimos muchos programas, pero casi no estudiamos aplicaciones
(es uno de los defectos de mi curso).

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Software

Wolfram Mathematica. Comercial.

Es un sistema universal de álgebra computacional.

Maxima. Libre.

Parece a Wolfram Mathematica, pero está menos desarrollado.
MATLAB. Comercial. Cálculos numéricos orientados a matrices.
GNU Octave. Un análogo libre de MATLAB.
Python. Libre. Tiene una sintaxis muy natural.

La biblioteca NumPy permite programar casi como en MATLAB.

Sage. Libre. Utiliza la sintaxis de Python.
C, Fortran. Libres. Los programas son muy largos, pero muy rápidos.

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Ejemplo de un programa sencillo

Escribamos un programa que crea una matriz con entradas aleatorias
y aplica a esta matriz una operación elemental por renglones.

En Wolfram Mathematica:

n = 10
A = RandomReal[{0, 1}, {n, n}]
A[[2]] += 5 * A[[1]]

En Python con NumPy:

from numpy import *
n = 10
A = random.rand(n, n)
A[1, :] += 5 * A[0, :]

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El mismo programa escrito en C

include <stdlib.h>
int main() {

int n = 10, i, j;
double **A = (double**) malloc(n * sizeof(double*));
for (i = 0; i < n; i++)

A[i] = (double*) malloc(n * sizeof(double));

A[i][j] = random() * 1.0 / RAND MAX;

for (i = 0; i < n; i++)

for (j = 0; j < n; j++)

for (j = 0; j < n; j++)

A[1][j] += 5 * A[0][j];

for (i = 0; i < n; i++)

free(A[i]);

free(A);
return 0;

}

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Literatura

Burden, R. L. y Faires, J. D.,
Análisis Numérico, Séptima Edición.
Cengage Learning, México.
Smith, W. Allen,
Análisis Numérico.
Prentice Hall Hispanoamericana, Ed. México, 608 p.
Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., Flannery, B. P.,
Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing. 2nd Ed.
Cambridge University Press 1992, 994 p.

Mis apuntes y ejercicios:

http://esfm.egormaximenko.com

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Contenido

1 Propósito y programa del curso, software y literatura

2 Panorama del curso

Preliminares
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Raíces de ecuaciones no lineales
Interpolación polinomial
Temas no incluidos en el curso

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Contenido

1 Propósito y programa del curso, software y literatura

2 Panorama del curso

Preliminares
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Raíces de ecuaciones no lineales
Interpolación polinomial
Temas no incluidos en el curso

3 Tarea de casa

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Preliminares
Representación de números en la computadora

Representación en base 2.

Escribir los números 45 y 10.75 en base 2.
Sumar y multiplicar los números binarios 10112 y 101012.

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Preliminares
Representación de números en la computadora

Representación en base 2.

Escribir los números 45 y 10.75 en base 2.
Sumar y multiplicar los números binarios 10112 y 101012.

Sistemas numéricos de punto flotante.

Representación de números con punto flotante.
¿Qué número está representado en el formato “double”
por la siguiente cadena de bits?

1 10000000101 0000000000000000000000000000000000000000000000011

Errores de redondeo. Propagación de los errores.
Errores absolutos y relativos.

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Preliminares
Representación de números en la computadora

Representación en base 2.

Escribir los números 45 y 10.75 en base 2.
Sumar y multiplicar los números binarios 10112 y 101012.

Sistemas numéricos de punto flotante.

Representación de números con punto flotante.
¿Qué número está representado en el formato “double”
por la siguiente cadena de bits?

1 10000000101 0000000000000000000000000000000000000000000000011

Errores de redondeo. Propagación de los errores.
Errores absolutos y relativos.

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Preliminares
Aritmética con redondeo

En el aritmética con tres dígitos decimales, restar y multiplicar los números

a = 1.02 · 102,

b = 9.87 · 101,

calcular los errores de redondeo.

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Preliminares
Repaso de algunas herramientas de Cálculo y de Álgebra

Límite de una sucesión.
Funciones continuas, teorema del valor intermedio.
Funciones derivables, teorema del valor medio.
Cálculo de máximos y mínimos.
Multiplicación de polinomios.
División sintética de un polinomio entre un binomio.

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2 Panorama del curso

Preliminares
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Raíces de ecuaciones no lineales
Interpolación polinomial
Temas no incluidos en el curso

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Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales surgen en todas las áreas de matemáticas,
lo mismo que en otras ciencias, naturales y sociales.

Por ejemplo, Wassily Leóntief recibió el premio Nobel de Economía en 1973
por la descripción de relaciones intersectoriales en macroeconomía a través
de sistemas de ecuaciones lineales.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales vamos a usar
el método de Gauss (eliminación gaussiana) y sus modificaciones.

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Método de Gauss

Consideremos el método de eliminación gaussiana con el siguiente ejemplo:

 2x1 + 3x2 − x3 =

1;
4x1 + 5x2 − 3x3 = −3;
3x1 − 2x2 + x3 = −4.

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Método de Gauss

Consideremos el método de eliminación gaussiana con el siguiente ejemplo:

1;
4x1 + 5x2 − 3x3 = −3;
3x1 − 2x2 + x3 = −4.

 2x1 + 3x2 − x3 =
 2


Para resolver el sistema de ecuaciones lineales,
escriben la matriz aumentada del sistema:
3 −1
1
5 −3 −3
1 −4

4
3 −2

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Método de Gauss

Consideremos el método de eliminación gaussiana con el siguiente ejemplo:

1;
4x1 + 5x2 − 3x3 = −3;
3x1 − 2x2 + x3 = −4.

 2x1 + 3x2 − x3 =
 2


Para resolver el sistema de ecuaciones lineales,
escriben la matriz aumentada del sistema:
3 −1
1
5 −3 −3
1 −4

4
3 −2

Luego se aplican transformaciones elementales por renglones
para reducir la matriz del sistema a una matriz escalonada.

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Método de Gauss: reducción a una matriz triangular

 2

3 −1
1
5 −3 −3
1 −4

4
3 −2



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