PDF de programación - Tema 6 Diagramas de flujo - Ingeniería de Control I

Ingeniería de Control I

Tema 6

Diagramas de flujo

1

6. Diagramas de flujo.

 Representación en DF
 Simplificaciones
 Fórmula de Mason
 Formas de Kalman
 Sistemas MIMO

Diagramas de Flujo

2

1

Bibliografía

 Señales y Sistemas. OCW-UC3M
 Apuntes Automática Básica. J. M. Bañón, UAH.
 Ingeniería de Control Moderna. K. Ogata.
 Automática. OCW-UPV
 Sistemas realimentados de control. J.J. D’azzo
 Feedback control systems. J.V. de Vegte.

Diagramas de Flujo

3

Objetivos

 Representación externa de los sistemas mediante

diagramas de flujo

 Operaciones con diagramas de flujo

Diagramas de Flujo

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2

DF

 Es una representación gráfica de las ecuaciones

algebraicas que relacionan las señales y sistemas que
describen un sistema físico

 Tienen gran capacidad de representación: puede

representar las ecuaciones de Laplace de un sistema
o un DB

 Se basa en dos elementos simples:

 Nodos: representan las variables
 Arcos o ramas orientadas: representan las FT

(transmitancias)

Diagramas de Flujo

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Definiciones

 Nodo: punto que representa una variable
 Rama: arco dirigido que une dos nodos
 Transmitancia: ganancia o FT entre dos nodos
 Nodo fuente o de entrada: del que solo salen ramas,

corresponde con entradas al sistema

 Nodo sumidero: al que solo llegan ramas,

corresponde con salidas del sistema

 Nodo mixto: al que entran y salen ramas,

representan las variables intermedias.

Diagramas de Flujo

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3

 Camino o trayecto: es un recorrido de ramas en la

dirección de los arcos

 Camino directo: es un trayecto de una fuente a un

destino sin pasar 2 veces por el mismo nodo

 Ganancia de un camino: producto de las ganancias

que se presentan en un trayecto

 Lazo o bucle: trayecto que parte y termina en el
mismo nodo sin pasar dos veces por ningún otro
nodo.

 Autobucle: es una rama que sale y llega al mismo

nodo.

Diagramas de Flujo

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Propiedades de DF

 Transmisión: cualquier nodo transmite su valor a las

ramas que parten de él

 Adición: el valor de la variable de un nodo es la suma

de los productos de ganancias por variables de los
nodos de las ramas que llegan a él

 Convertibilidad de un nodo mixto: cualquier variable
de un nodo mixto se puede convertir en sumidero o
fuente (de otro grafo) con una rama de valor 1

Diagramas de Flujo

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4

Ej

 DF a partir de DB

Diagramas de Flujo

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Ej.

 DF a partir de ecuaciones

Diagramas de Flujo

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Ej.

 Dado DF:

Caminos directos

Diagramas de Flujo

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Diagramas de Flujo

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6

Lazos

 Hay más?

Diagramas de Flujo

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Simplificación por distensión de nudos

 Ramas en serie: se sustituyen por una sola cuyo

valor sea el producto de todas

 Ramas en paralelo: se sustituyen por una sola cuyo

valor sea la suma de todas

Diagramas de Flujo

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7

Simplificación

 Nudos mixtos serie-paralelo: se puede suprimir un

nodo utilizando las ecuaciones

 ݔଷ = ܽݔଵ + ܾݔଶ; ݔସ = ܿݔଷ; ݔହ = ݀ݔଷ
 ݔସ = ܿܽݔଵ + ܾܿݔଶ;ݔହ = ݀ܽݔଵ + ܾ݀ݔଶ

Diagramas de Flujo

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 Ramas en bucle cerrado: se sustituye por una rama

con la fórmula de realimentación

ab

−1

bc

 ݔଶ = ܽݔଵ + ܿݔଷ;ݔଷ = ܾݔଶ
 ݔଷ = ܾܽݔଵ + ܾܿݔଷ ⇒ 1 − ܾܿ ݔଷ = ܾܽݔଵ

Diagramas de Flujo

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8

 Ramas en autobucle: se puede eliminar dividiendo
cada rama que entra en el nodo con autobucle por
(1-Gauto)
 ݔସ = ܽݔଵ + ܾݔଶ + ܿݔଷ + ݀ݔସ
= ௔
ଵିௗݔଵ + ௕
 ݔସ = ௔௫భା௕௫మା௖௫య

ଵିௗݔଶ + ௖

ଵିௗ

ଵିௗݔଷ

Diagramas de Flujo

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Ej.

 Simplificar

Diagramas de Flujo

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9

Regla de Mason
 ܩ ݏ = ஼(௦)

ோ(௦) = ࢣ ்೔∆೔
∆

೔

௕௖

ܮ௘ܮ௙ܮ௚

 ܶ௜ es el la ganancia del trayecto directo i-ésimo
 ∆ es el determinante o ecuación característica del
sistema:
 ∆= 1 − ࢣ ܮ௔ + ࢣ ܮ௕ܮ௖

௔
 ࢣ ܮ௔௔
es la suma de todos los lazos o bucles del diagrama de flujo
 ࢣ ܮ௕ܮ௖
௕௖
disjuntos 2 a 2 (sin nodos comunes).
 ࢣ
௘௙௚
disjuntos 3 a 3

es la suma del producto de las ganancias de los lazos

es la suma del producto de las ganancias de los lazos

ܮ௘ܮ௙ܮ௚ + ⋯

− ࢣ

௘௙௚

 ∆௜ es el cofactor del trayecto i-ésimo, el determinante
con los lazos que no pertenecen a ese trayecto (de ∆ se
eliminan los términos correspondientes a nodos de ܶ݅)

Diagramas de Flujo

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Ej.

 Localización de lazos y cálculo de ∆.

 ܮଵ = ܩଶܪଵ;ܮଶ = ܩସܪଶ;ܮଷ = ܩ଺ܪଷ;ܮସ = ܩଶܩଷܩସܩହܪସܩ଺ܪହ

 ∆=

1

−(ܮଵ + ܮଶ + ܮଷ + ܮସ)
+(ܮଵܮଶ + ܮଵܮଷ + ܮଶܮଷ)

−(ܮଵܮଶܮଷ)

Diagramas de Flujo

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10

௜

 Término ࢣ ܶ௜∆௜
 ܶଵ = ܩଵܩଶܩଷܩସܩହ
 ∆ଵ= 1 − (ܩ଺ܪଷ)
 Por tanto: ܩ = ்భ∆భ
∆

Diagramas de Flujo

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Ej.

 Aplicar Mason para obtener la relación de mando:

Diagramas de Flujo

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Formas de Kalman

 Dada la FT obtener un DF equivalente.
 Se utilizaba para obtener una simulación de FT en el

calculador analógico a base de integradores y
amplificadores.

 1ª forma: todos los trayectos y lazos pasan por el

primer nodo:
 Todos los ∆௜= 1;
 No hay lazos disjuntos

 Entonces:

 ܩ ݏ = ொ(௦)

௉(௦) = ࢣ ்೔∆೔

∆ = ࢣ ்೔
ଵିࢣ ௅ೌೌ

೔

೔

Diagramas de Flujo

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 En el numerador viene dada la expresión de los

trayectos directos y en el denominador de los lazos.

 Para poder simular integradores se divide num y

denominador por la mayor potencia de s

 Ej: ܩ ݏ = ௕భ௦ା௕బ

௔మ௦మା௔భ௦ା௔బ =

ଵି(ିೌభ
 Cada integrador es una rama directa del DF

ೞ ା್బ
್భ
ೞమ = ଵ
ೞమ
ೞ ାೌబ
௔మାೌభ
௔మ

௕భ௦షభା௕బ௦షమ
ೌమ௦షభିೌబ

ೌమ௦షమ)

1−s

1−s

Diagramas de Flujo

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12

 El numerador de la FT son ramas hacia adelante:

1−s

1−s

 El denominador completa el DF:

 ¿Y el factor 1/ܽଶ?

Diagramas de Flujo

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2ª forma de Kalman

 Se hace pasar los trayectos directos y los lazos por el
último nodo (y ଵ ௔మ߼ ?).

1−s

1−s

Diagramas de Flujo

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13

Ej.

 Hallar 1ª y 2ª forma de Kalman de la siguiente FT:

 ܩ ݏ = ௕య௦యା௕మ௦మା௕భ௦ା௕೚
௦రା௔య௦యା௔మ௦మା௔భ௦ା௔బ

Diagramas de Flujo

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Sistemas MIMO

 Varias entradas (m) y salidas (n).
 Se representa por matrices de transferencia
 Aplicando el principio de superposición (LTI), habría
݊ ∙ ݉ FT: todas con el mismo denominador (ec.
característica)
 Producto de matrices: ܥ (ݏ) = ܩ (ݏ)ܴ (ݏ)

Diagramas de Flujo

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 ܥ(ݏ) [݊ݔ1]; ܴ(ݏ) [݉ݔ1];ܩ(ݏ) [݊ݔ݉]
 Por el principio de superposición podemos calcular

cada ganancia:

 ܩ௜௝ = ஼೔
ோೕฬ

ோ೘ಯೕୀ଴

 El valor de la salida i para el conjunto de las m

entradas (suma de las respuestas a cada entrada)
 ܥ௜ ݏ = ࢣ

ܩ௜௝ ݏ ܴ௝ ݏ =

௠௝ୀଵ

ܩ௜(ݏ) ∙ ܴ(ݏ)

Diagramas de Flujo

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