PDF de programación - Lección 9: Solución de Sistemas Lineales Triangulares - Tutorial básico de MATLAB

Lección 9. Solución de Sistemas Lineales
Triangulares

MIGUEL ANGEL UH ZAPATA1
Análisis Numérico I
Facultad de Matemáticas, UADY

Septiembre 2014

1Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida.

En esta lección analizaremos el algoritmo para
la solución de sistemas triangulares.
Al final debemos de:

Entender porque estos sistemas son fáci-
les de solucionar.

Conocer el algoritmo de sustitución re-
gresiva.

Desarrollar el algoritmo de sustitución
progresiva de manera análoga al regresi-
vo.

Análisis Numérico

Sistemas Lineales Triangulares

Ahora, se desarrollará el algoritmo de sustitución regresiva, con el que se podrá resolver un
sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes sea triangular superior.

Definición:
Se dice que una matriz A = [aij] de orden n×n es triangular superior cuando sus elementos
verifican aij = 0 siempre que i > j. Se dice que una matriz A = [aij] de orden n × n es
triangular inferior si aij = 0 siempre que i < j.

Si A es una matriz triangular superior, entonces se dice que el sistema de ecuaciones Ax = b
es un sistema triangular superior de ecuaciones lineales que tiene la siguiente forma:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ··· +
a22x2 + a23x3 + ··· +
a33x3 + ··· +

a1n−1xn−1+
a2n−1xn−1+
a3n−1xn−1+
...

a1nxn = b1
a2nxn = b2
a3nxn = b3

an−2,n−1xn−1+ an−2,nxn = bn−2
an−1,n−1xn−1+ an−1,nxn = bn−1
annxn = bn

(1)

Teorema (Sustitución regresiva):
Considerar un sistema triangular superior Ax = b como el dado en (1). Si akk = 0 para
k = 1, 2,··· , n, entonces existe una solución única de (1)

Demostración (constructiva):
La solución es fácil de hallar. Se empieza hallando la última variable, luego la penúltima usando
la anterior y así sucesivamente hasta obtener la primera.

La última ecuación en (1), sólo con-
tiene la incógnita xn, así que se em-
pieza por despejar esta variable

Ahora, ya se conoce xn así que se
puede usar en la penúltima ecuación
de (1) para despejar xn−1:

Ahora, se usa xn y xn−1 para hallar
xn−2:

Luego, se usa xn, xn−1 y xn−2 para
hallar xn−3:

xn =

bn
ann

.

xn−1 =

1

an−1,n−1

(bn−1 − an−1,nxn)

xn−2 =

1

an−2,n−2

(bn−2 − an−2,n−1xn−1

− an−2,nxn)

xn−3 =

1

an−3,n−3

(bn−3 − an−3,n−2xn−2
− an−2,n−1xn−1
− an−2,nxn)

Sistemas Triangulares

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Una vez calculados
los valores
xn, xn−1, xn−2,··· , xk+2, xk+1, el
paso general es

Análisis Numérico

xk =

1
akk

(bk − ak,k+1xk+1
− ak,k+2xk+2
− ...
− ak,n−2xn−2
− ak,n−1xn−1
− ak,nxn

xk =

j=k+1 akjxj
akk

para k = n − 1, n − 2,··· , 1.

(2)

Este proceso se puede escribir de manera simplificada como

bk −n

Finalmente, la unicidad de la solución es fácil de ver. La última ecuación implica que

bn
ann

es el único posible valor de xn y, por inducción finita, los valores de xn−1, xn−2,··· , x1 tam-
bién son únicos.

El siguiente teorema establece que si un elemento de la diagonal principal de una matriz trian-
gular, superior o inferior, es cero, entonces det(A) = 0.

Teorema:
Si una matriz A = [aij] de orden n × n es triangular superior o inferior, entonces

det(A) = a11a22 ··· ann.

Observación:

Sea A una matriz triangular, superior o inferior, de orden n × n y b una matriz de orden
n×1. Si un elemento de la diagonal principal de la matriz A es cero, entonces det(A) = 0
y por lo tanto, el sistema lineal Ax = b no tiene solución única o no tiene solución.

Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema lineal triangular superior mediante sustitución regresiva

4x1 − x2 + 2x3 + 3x4 = 20
−2x2 + 7x3 − 4x4 = −7
6x3 + 5x4 = 4
3x4 = 6

Solución:
En este ejemplo, el determinante de la matriz de coeficientes, A, está dada por

det(A) = (4)(−2)(6)(3) = −144.

Sistemas Triangulares

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Análisis Numérico

Como det(A) = 0, entonces el sistema lineal dado tiene solución única. Ahora se procederá a
hallar la solución de este sistema.

Despejando x4 en la última ecuación, se obtiene

6
3
Usando x4 = 2 en la tercera ecuación, se obtiene
4 − 5(2)

x4 =

= 2.

x3 =

6

= −1.

Ahora, se usan los valores x4 = 2 y x3 = −1 para despejar x2 en la segunda ecuación:

−2
Finalmente, se obtiene x1 de la primera ecuación:

x2 =

−7 − 7(−1) + 4(2)

= −4

20 + 1(−4) − 2(−1) − 3(2)

4

= 3.

x1 =

Así, la solución del sistema lineal triangular superior dado, Ax = b, es x = (3,−4,−1, 2).

El siguiente programa sirve para resolver un sistema triangular superior como el dado en (1) por
el método de sustitución regresiva, suponiendo que akk = 0 para k = 1, 2,··· , n. El método
funciona sólo si todos los elementos diagonales son distintos de cero.

% triansup.m
% Sustitución regresiva (hacia atrás)
function x =triansup(A,b)

n=length(B);
x=zeros(n,1);
x(n)=b(n)/A(n,n);
for k=n-1:-1:1

% Se halla el tamaño del vector b
% Se define un vector columna de n ceros
% Se calcula x(n)

x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/(A(k,k));

end

end

De manera similar se puede realizar un programa que resuelva un sistema triangular superior.
Se dejará como ejercicio.

Sistemas Triangulares

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