PDF de programación - DISEO DE UN CONTROLADOR PID ANALOGO PARA UN CIRCUITO RC DE SEGUNDO ORDEN MEDIANTE LA SISOTOOL DE MATLAB

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PPAARRAA UUNN CCIIRRCCUUIITTOO RRCC DDEE SSEEGGUUNNDDOO OORRDDEENN

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CCIIRRCCUUIITTOO RRCC DDEE SSEEGGUUNNDDOO OORRDDEENN
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POR:

EDWIN GONZÁLEZ QUERUBÍN
MORGAN GARAVITO VÁSQUEZ

FACULTAD DE INGENIERÍA MECATRÓNICA

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS
BUCARAMANGA – COLOMBIA

2007

Edwin González Querubín [email protected]

Morgan Garavito Vásquez [email protected]

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El diseño de sistemas de control se puede realizar, ya sea en el dominio del tiempo
o en el de la frecuencia. A menudo se emplean especificaciones de diseño para
describir que debe hacer el sistema y como hacerlo. Siendo estas únicas para cada
diseño.

Por lo tanto el diseño de sistemas de control involucra tres pasos:


• Determinar que debe hacer el sistema y como hacerlo.
• Determinar la configuración del compensador.
• Determinar los valores de los parámetros del controlador para alcanzar los

objetivos de diseño.



Para alcanzar estos objetivos nos basaremos en cálculos matemáticos realizados a
mano y con la ayuda del software MATLAB y la herramienta Sisotool para
determinar la ubicación de los polos dominantes de nuestro sistema y observar si
cumple o no con nuestras especificaciones de diseño. Así mismo se contará con la
ayuda de Circuit Maker y Simulink, los cuales nos servirán para la verificación
de los datos obtenidos y así poder constatar el funcionamiento de nuestro diseño.



Introducción



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Morgan Garavito Vásquez [email protected]

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• Obtener la función de transferencia de la planta o circuito rc.
• Obtener la función de transferencia del controlador basado en el circuito con

amplificadores operacionales (Proporcional - Integral - Derivativo).

• Obtener mediante la sisotool de Matlab la función de transferencia del

controlador con los parámetros de diseño establecidos.

• Por medio de los resultados obtenidos con la sisotool de Matlab y el
controlador hallado manualmente, calcular y seleccionar los elementos de
circuito para el controlador PID.

• Simular el sistema de control de lazo cerrado compensado y no compensado

Maker el circuito.

• Ensamble y pruebas del controlador.

ante una entrada escalón.

• Con base a los elementos de circuito calculados, simular mediante Circuit

OBJETIVOS



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CIRCUITO RC O PLANTA



Como se puede observar en la figura 1, la planta es un sistema de segundo orden,
ya que contiene dos elementos almacenadores de energía que son los
condensadores Ca y Cb.

Figura 1



Función de transferencia de la planta:



Vi

Va

−
Ra

=

=

Va

Vo

−
Rb

1)

2)

2.2)

1.1) y 2.2)


Va

=

Vo

1(

+

Rb
Cb

)



0

Va

−
Ca

+

Va

Vo

−
Rb

1.1)

=

Va

1(
Ra

+

1
Ca

+

)1
Rb

−

Vo
Rb



Vi
Ra

Vo

0−
Cb



Va
Rb

=

Vo

1(
Rb

+

)1
Cb



Vi
Ra

=

Vo

1(

+

Rb
Cb

1)(
Ra

+

1
Ca

+

)1
Rb

−

Vo
Rb



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Vo
Vi

=

Ra

⎡
⎢⎣

1(

+

Rb
Cb

1)(
Ra

=

Ra

1
Ra

⎡
⎢⎣

+

1
Ca

+

1
Rb

+

1

+

+

1
Ca
1
Rb
RaCb



)1
Rb

−

1
Rb

⎤
⎥⎦

+

Rb
CaCb

+

1
Cb

−

1
Rb

⎤
⎥⎦



Vo
Vi


Vo
Vi


Vo
Vi



=

1

+

Ra
Ca

+

Rb
Cb

1

+

RaRb
CaCb

+

Ra
Cb

=



RaRb
CaCb

+

(1
Cb

1
Ra

+

Rb

)

+



+

1

Ra
Ca

s
)(

=

s
)(

=

RaRbCaCbS

(2^
+

Ra

1
+

Rb

CbS
)

+

RaCaS

+

1



RaRbCaCbS

2^

+

1
Ra
+

[
(

Rb

Cb
)

+

RaCa



]
S

+

1

sG
)(

=

3)

RaRbCaCbS

(2^
+

1
RaCa

+

RaCb

+

RbCb

)

S

+

1



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CALCULO DE LAS ETAPAS DEL CONTROLADOR PID

En la figura 2 se puede observar el circuito equivalente del controlador PID con
cada una de sus etapas, proporcional, integral y derivativa, respectivamente.



Figura 2

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Parte proporcional (P)


El controlador proporcional es esencialmente un controlador anticipativo, así
mismo, este tendrá efecto sobre el error en estado estable sólo si el error varía con
respecto al tiempo, pero tiene una gran desventaja, atenúa el ruido en frecuencias
altas. El diseño de este tipo de controlador afecta el desempeño de un sistema de
control de las siguientes maneras:


• Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo.
• Reduce el tiempo de asentamiento y levantamiento.
• Mejora el margen de ganancia, el margen de fase.
• En la implementación de un circuito, puede necesitar de un capacitor muy

grande.



La parte proporcional no considera el tiempo, por tanto la mejor manera de
solucionar el error permanente y hacer que el sistema contenga alguna
componente que tenga en cuenta la variación con respecto al tiempo es
incluyendo y configurando las acciones integral y derivativa.



Figura 3


Vi

0

0

=

−
Rc

Vo
1
−
Rd



Vi
Rc

=

Vo
1
−
Rd



Vo
1
Vi

=

Rd
−
Rc

4)

sVo
)(1

=

−

s
)(



RdVi
Rc



Parte integral (I)

El modo de control integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en
estado estacionario provocado por el modo proporcional.


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El error es integrado, lo cual tiene la función de promediarlo o sumarlo por un
periodo de tiempo determinado, luego es multiplicado por una constante I.

I representa la constante de integración. Posteriormente, la respuesta integral es
adicionada al modo Proporcional para formar el control P + I con el propósito de
obtener una respuesta estable del sistema sin error estacionario, debido a que al
incorporar un polo en lazo abierto en el origen, se desplaza el lugar geométrico de
las raíces del sistema hacia el semiplano derecho de s. Por esta razón, en la
práctica la acción integral suele acompañarse por otras acciones de control.

El controlador integral es un circuito electrónico que genera una salida
proporcional a la señal de entrada. La figura 6 muestra el circuito de un
controlador integral, el capacitor C esta conectado entre la entrada inversora y la
salida. De esta forma, la tensión en las terminales del capacitor es además la
tensión de salida.



Figura 4



Vi

−
Rf



0

=

0

2

Vo
−
Cc



Vi
Rf

=

−

2

Vo
Cc



sVi
)(
Rf

−=

CcVo

Ss
)(2

5)

Vo

s
)(2

=

sVi
)(
−
RfCcS



Parte derivativa (D)

La acción derivativa se manifiesta cuando hay un cambio en el valor absoluto del
error; (si el error es constante, solamente actúan los modos proporcional e
integral). El error es la desviación existente entre el punto de medida y el valor de
consigna, o "set point".


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La función de la acción derivativa, es mantener el error al mínimo corrigiéndolo
proporcionalmente con la velocidad misma que se produce, de esta manera evita
que el error se incremente.

Se deriva con respecto al tiempo y se multiplica por una constante D y luego se
suma a las señales anteriores (P+I). Es importante gobernar la respuesta de
control a los cambios en el sistema, ya que una mayor acción derivativa
corresponde a un cambio más rápido y el controlador puede responder
adecuadamente.



Figura 5

Vi
Rg

0
−
Cd
+

)

=

0

Vo
3
−
Rh



Vi
+

Rg

Cd

=

−

Vo
3
Rh



Vo

=3

−
Rg

RhVi
Cd
+



Vo

s
)(3

=

−
Rg

+

RhVi



s
)(
1
CdS

Vo

s
)(3

=

−

RhCdVi
1
+

Ss
)(
RgCdS



6)



FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL CONTROLADOR PID

En base al circuito de la figura 2 y a los valores hallados en cada una de las
, el cual va a ser la función de transferencia del
etapas, procedemos a obtener

Vo
Vi

PID análogo, C(s).



(



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0)(1

−

sVo
R

Vo

+

s
R

0)(2

−

Vo

0)(3

−

+

s
R

0

−

=

sVo
)(
R



+

+

Vo

Vo

s
)(3

s
)(2

sVo
)(1


7)


Reemplazando la ecuación 4, 5 y 6 en la 7:


sVo
)(

−=



−

RdVi
Rc

s
)(

−

s
)(

=

Rd
Rc

−

sVi
)(
RfCcS
1

+

RfCcS

+

RhCdVi
1

Ss
)(
RgCdS
RhCdS
RgCdS
+

+

1

−=

sVo
)(



Vo
Vi



Vo
Vi



Vo
Vi



Vo
Vi



Vo
Vi

s
)(

=



Vo
Vi

s
)(

=



Rd

(

RfCcS

1)(

+

s
)(

=

RgCdS
)
Rc
(

Rc
1(
+
+
RfCcS
1)(

RgCdS
+

)
+
RgCdS
)

RhCdS

(

Rc

)(

RfCcS

)



R