PDF de programación - Conmutación de circuitos Traffic Analysis

ARQUITECTURA DE REDES, SISTEMAS Y SERVICIOS

Área de Ingeniería Telemática

Conmutación de circuitos

Traffic Analysis

Area de Ingeniería Telemática

http://www.tlm.unavarra.es

Arquitectura de Redes, Sistemas y Servicios

3º Ingeniería de Telecomunicación

Tiempos entre llegadas

•  Se demuestra que: si el número de eventos que ocurren en un
intervalo sigue una distribución de Poisson los tiempos entre llegadas
de eventos siguen una distribución exponencial

•  El tiempo entre llegadas sigue una v.a. exponencial de parámetro λ
•  Xi variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas

(i.i.d.) (‘X’)


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pX (t) = λe−λt

(t>0)

P[X < t] =1−e−λt

tλe−λt

= 1

λ

∞

∫
0

€

•  Media:

E[X] =

€

•  Tiempo medio entre llegadas 1/λ ⇒ en media λ llegadas por segundo
€

X1

X2

X3 X4 X5 X6

X7

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•  Duración de las llamadas
•  Lo más simple: tiempo constante

–  Poco realista para llamadas
–  Actividades automáticas: reproducción de

mensajes, procesado de señalización, etc.

•  Tiempo exponencial

–  Variables aleatorias (continuas) ‘si’
– 
–  Tiempos menores de

i.i.d. (‘s’)

la media muy

–  Cada vez menos comunes tiempos mayores

comunes

que la media

–  Propiedad: el

tiempo

restante de una
llamada es independiente de lo que haya
durado hasta ahora

•  Duración exponencial: ‘s’ caracterizada por

€

su función de densidad

Tiempo de ocupación

ps(t) = µe−µt

(t>0)

µe−µt =1

∞

∫
0

es una fdp

s = E[s] = 1
µ

€

€

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Intensidad de trafico

Infinitas líneas

• 
•  Llamadas que se generan con una tasa media λ
•  Tiempo medio de duración s
•  ¿ Intensidad de tráfico que representan ?

λ llegadas por segundo
en media

…


1 llegada mantiene una línea ocupada
durante s segundos en media

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Intensidad de trafico

•  E[n] = λ s
•  Esto es conocido como la Fórmula de Little
•  λ s

–  Es el tráfico medido en Erlangs
–  Equivalente al número de recursos que se ocuparían en el sistema
con esa carga si el sistema tuviera infinitos recursos (condiciones
de servicio ideales)

n

λ llegadas/s

s tiempo medio ocupación

Número medio de
servidores ocupados

E[n] = λ s

t

…


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Número de líneas ocupadas

•  Hipótesis:


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–  Llamadas proceso de Poisson con tasa λ
–  Solicitudes de servicio de duración constante ‘s’

•  ¿ Número de líneas ocupadas en un instante cualquiera ?

–  Es una variable aleatoria
–  La probabilidad de que ‘j’ líneas estén ocupadas en un instante es la

probabilidad de ‘j’ llegadas en el intervalo previo de duración ‘s’

–  Depende solo de la intensidad de tráfico λs, que es la media de esta

variable (A = λs)

–  Resulta ser válido independiente de la distribución de ‘s’ (sin demostración)

Intensidad de tráfico

Pλs[N = j] =

λ Llegadas
por segundo

(λs) j
k! e−λs


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#

1 llegada mantiene una línea ocupada
durante s segundos

€

…


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Recursos finitos

•  Normalmente dispondremos de

recursos

finitos


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(capacidad)

•  Problemas de interés

–  ¿ Cuál es la probabilidad de que una llamada encuentre el

–  ¿ Cuál es el número de líneas necesarias para una

sistema ocupado ?

probabilidad objetivo ?

–  ¿ Cuál es el tráfico que atraviesa ese sistema y forma la

carga del siguiente sistema ?

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Probabilidad de bloqueo
•  Llegadas según proceso de Poisson de tasa λ
•  Duración exponencial de media s
•  Variable aleatoria (o más bien proceso aleatorio)

–  I número de servidores ocupados en cada instante de
–  La intensidad de tráfico es E[I] = A = λs

tiempo


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#

I líneas ocupadas

Llegadas
Poisson

…


tiempo

Duración
exponencial

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Probabilidad de bloqueo

•  Cuando la variable I toma valor = número de

servidores el sistema está en BLOQUEO

•  ¿ Cuál es la probabilidad de que el sistema esté en

situación de bloqueo ?


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Todos los servidores
ocupados = BLOQUEO


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tiempo

Si llegan llamadas durante el
tiempo de bloqueo son rechazadas

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Probabilidad de bloqueo

•  En un sistema con
–  Llegadas Poisson(λ)
–  Duraciones Exp(1/s)
–  Tráfico de entrada A = λs
–  k servidores
–  Las llamadas que llegan al sistema bloqueado se

pierden

–  Probabilidad de bloqueo: ¿Cuál es P[I=n]? (…)

•  P[I=n] = B(a,k)
•  B(a,k) es conocida como función B de Erlang

(o ErlangB)

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B de Erlang


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•  Fórmula:

B(A,k) =

Ak
k!
Ai

k
∑
i= 0

i!

•  Cálculo recursivo:

B(A,0) =1
B(A, j) =

A ⋅ B(A, j −1)
A ⋅ B(A, j −1) + j

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P

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€

K=5

K=10

K=15

K=20

K=25

K=30

A (intensidad de tráfico, Erlangs)

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Tráfico cursado

•  Si un conjunto k de líneas tiene un tráfico ofrecido de
I Erlangs y una probabilidad de bloqueo, ¿cuánto
tráfico atraviesa las líneas?
Esto será el tráfico cursado y será a su vez el
tráfico ofrecido al siguiente sistema al que lleguen las
líneas
Ic = Iin (1 - Pb)= Iin (1-B( Iin , k ))

Ic : tráfico cursado
Iin : tráfico ofrecido o de entrada

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Tráfico de desbordamiento

•  No puede ser cursado por el camino principal (por bloqueo)
•  Se “desborda” (overflow) a una ruta secundaria
•  Un proceso de Poisson del que se eliminan aleatoriamente (iid) muestras con

probabilidad p sigue siendo un proceso de Poisson, pero con menor tasa (pλ)

•  En nuestro caso las llamadas desbordadas suelen ir en bloques
•  Eso da mayores probabilidades de bloqueo que con un proceso de Poisson de

igual media

•  Se aproxima con un proceso de Poisson de mayor tasa
• 

(En los problemas en caso de no disponer de las tablas emplearemos Poisson
de igual tasa, aunque esto es subdimensionar)

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Ejemplos (1)

entrar a una centralita

•  1000 líneas llegan a un concentrador que selecciona 50 para
•  Los usuarios generan un tráfico de 40 Erlangs
•  ¿ Cuál es la probabilidad de bloqueo ?

1000 líneas

40 Erlangs

50 líneas

…

…

•  La probabilidad de bloqueo es
Pb=B(40, 50) = 0.0187 casi un 2%

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Ejemplos (2)

•  En la centralita A de la figura las llamadas con destino a B se
encaminan si es posible por el enlace directo a B y en caso de
estar ocupado a través de la central primaria

•  ¿ Cuál es el tráfico que cursa el enlace A-C y cuál es la
probabilidad de bloqueo de una llamada de un abonado de A a
uno de B ?

20 líneas

10 líneas

A

C

20 líneas

5 líneas

B

Demanda en Erlangs
Origen
De A
De B
Exterior

a A
2
3
2

a B Al exterior
4.5
4.5
3.2
5
-
2

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Mayor complejidad

•  ¿ Qué ocurre si las llamadas se retienen hasta que

sean atendidas ?

Teoría de colas (función C de Erlang)

•  ¿ Qué ocurre si tenemos en cuenta que hay un

número finito (y conocido) de usuarios ?

Fórmula de Engset

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Preguntas pendientes
•  ¿Y en el caso de conmutación de paquetes?

–  Teoría de colas
–  Problemas más complicados
–  Peores aproximaciones
–  Mayor número de problemas sin resolver

Redes Sistemas y Servicios (5º curso)

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Conclusiones

•  El tráfico telefónico se modela me