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Manual de usuario y notas de implementación

lp

F. Javier Gil Chica

2010

Parte I
Fundamentos teóricos

1. Qué es lp

lp es un pequeño programa que evalúa la validez de un argumento. Un
argumento consta de una serie de premisas y una conclusión. Si la conclusión
se sigue necesariamente de las premisas, entonces el argumento es válido. En
caso contrario, no. Puede demostrarse que un conjunto de premisas, junto
con la conclusión, se expresa mediante una fórmula que puede evaluarse. Del
resultado de esta evaluación se sigue la validad o invalidez del argumento. El
usuario introduce la fórmula desde la línea de órdenes y el programa ofrece
el resultado.

2. Resumen de lógica de proposiciones

En esta sección se hace un resumen de la lógica de proposiciones. El re-
sumen toma como referencia el texto de Hardgree, que puede encontrarse
en la red. En cualquier caso, existen multitud de otros textos disponibles,
que se recogen en la bibliografía, al final de este documento. Este resu-
men está pensado como refresco rápido de conceptos que ya se
estudiaron, no como texto alternativo. El lector puesto al día puede ir
directamente a la parte segunda.

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2.1. Conceptos preliminares

La Lógica es la ciencia del razonamiento. No se entiende aquí razonamien-
to por los mecanismos neurofisiológicos involucrados en el acto de razonar,
sino por el razonamiento en sí mismo, y más concretamente, en cuanto a que
sea correcto o no. La Lógica no es una ciencia empírica, sino especulativa.

Se razona mediante el lenguaje, de manera que la formalización del ra-
zonamiento que hace la ciencia de la Lógica ha de ser una formalización del
lenguaje. Pero el lenguaje humano es extremadamente complejo. Por tanto,
esa formalización se deberá reducir a un subconjunto del lenguaje. En una
primera restricción se consideran sólo sentencias declarativas, que se definen
como aquellas que pueden ser verdaderas o falsas. Sentencias que contengan
interrogaciones o exclamaciones no son consideradas. En una segunda restric-
ción, se consideran sentencias declarativas formadas a partir de unas pocas
palabras del lenguaje común.

Cuando se razona, se pasa de unas verdades a otras. Definiremos un razo-
namiento como un conjunto de sentencias declarativas, de las cuales una de
ellas se llama conclusión y las otras premisas. El razonamiento, que en este
contexto se llama ”inferencia”, es el paso de las premisas a la conclusión. Hay
que distinguir entre razonamientos inductivos y razonamientos deductivos.
Los primeros establecen la verosimilitud de la conclusión, dadas las premisas.
En los segundos la conclusión se ha de seguir necesariamente de las premi-
sas. Las ciencias empíricas razonan inductivamente. La Lógica trata de los
razonamientos deductivos.

Un argumento tiene una forma y un contenido. La forma es la estructura
de las sentencias: cómo están hechas las sentencias, cuales son las premisas
y cual la conclusión. El contenido es la materia sobre la cual se expresan las
premisas y la conclusión. Un razonamiento puede ser verdadero o falso por su
contenido, y verdadero o falso por su forma. Como también puede suceder que
en razón de su contenido una sentencia no pueda decidirse si es verdadera o
falsa (ej. ”Todos los cerpillos tienen cabeza cuadrada” ¿qué es un cerpillo? De
existir ¿es verdad que tienen todos la cabeza cuadrada?) daremos la siguiente
definición: un argumento es válido si la conclusión se sigue necesariamente
de las premisas. Pues bien, el principio fundamental de la lógica establece
que la validez de un argumento depende únicamente de su forma.

2.2. Silogismos

La lógica silogística es un subconjunto de la lógica donde el número de
premisas es exactamente dos. A su vez, las sentencias de un silogismo conec-
tan elementos ling¨ısticos (nombres, verbos, adjetivos) mediante un reducido

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subconjunto del lenguaje ordinario, a saber: {uno, algunos, todos, ninguno,
es, no es}. Debido a su modesto alcance, los silogismos válidos pueden enu-
merarse completamente, ya que son limitados. La silogística fue inventada
por Aristóteles, y perfeccionada durante la Edad Media. Podemos escribir
algunos silogismos, y ver que todos comparten la misma forma:

Todos los hombres son mamíferos
Algunos hombres no tienen pelo
/ Algunos mamíferos no tienen pelo

Todos los isleños son marineros
Algunos isleños no tienen aparejos
/ Algunos marineros no tienen aparejos

etc. Se ve que ambos silogismos tienen la misma estructura:

Todos los X son Y
Algunos X no tienen Z
/ Algunos Y no tienen Z

Por tanto, si este último silogismo es válido, serán válidos todos los si-
logismos que tengan la misma forma. Son silogismos válidos, como se puede
comprobar fácilmente, los siguientes

Todo X es Y
Todo Y es Z
/ Todo X es Z

Todo X es Y
Algún X es Z
/ Algún Y es Z

Todo X es Z
Ningún Y es Z
/ Ningún X es Y

Ningún X es Y
Algún Y es Z
/ Algún Z no es X

Los símbolos {X,Y,Z...} representan clases.

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2.3. Lógica de proposiciones

El nivel siguiente a la lógica silogística es la lógica de proposiciones. La
lógica de proposiciones se ocupa de sentencias declarativas que, conectadas
por elementos ling¨uísticos determinados, forman nuevas sentencias declarati-
vas: es decir, aptas para clasificarse en verdaderas o falsas. Por ejemplo, dos
sentencias son ”La nieve es blanca” y ”El cielo es azul”, y otra sentencia, for-
mada mediante la unión de ambas es ”La nieve es blanca y el cielo es azul”,
donde el ”conector” es la palabra y. Puesto que una sentencia declarativa
compuesta sigue siendo una sentencia declarativa, se sigue que pueden com-
ponerse sin límite sentencias más complejas a partir de otras más simples. A
sentencias declarativas compuestas como la anterior se les llama abreviada-
mente ”conectivas”, por la presencia de al menos un ”conector” ling¨uístico.
Trataremos sólo con conectivas llamadas ”verdaderamente funcionales”. Una
conectiva es verdaderamente funcional si su cualidad de verdadera o falsa
depende sólo de la cualidad de verdaderas o falsas de las sentencias simples
de que está compuesta. En Lógica se prefiere hablar de verdad o falsedad
no desde el punto de vista cualitativo, sino cuantitativo. Para eso, basta con
asignar un valor a la cualidad de ”verdadero” y otro distinto a la cualidad de
”falso”. Por ejemplo, 0 para verdadero y 1 para falso, o cualesquiera otros.
Es costumbre representar por T el valor de una sentencia verdadera y por F
el valor de una sentencia falsa.

2.4. Conectivas

El número de conectivas usadas en lógica de proposiciones es muy redu-

cido, y las trataremos a continuación.

1.- Conjunción. La conjunción consiste en la conexión de dos sentencias
mediante el elemento ling¨uístico y, como en ”La nieve es blanca y el cielo es
azul”. Es costumbre en Lógica usar símbolos especiales para las conectivas y
para las sentencias. La conectiva y se representa mediante ’&’ y las sentencias
mediante letras mayúsculas. Una conjunción entonces se escribe en la forma
’R&S’. Se trata de ver que ’&’ es una conectiva verdaderamente funcional, es
decir, que dados los valores de verdad de R y S está dado el valor de verdad
de ’R&S’. Claramente, sólo se podrá decir que R&S es T si R es T y S es
T. En cualquier otro caso, R&S es F. Puesto que R puede ser T o F y S
puede ser T o F, hay cuatro combinaciones posibles, y a cada combinación
le corresponderá un valor T o F para R&S. Esto se suele expresar en forma
de tabla, de la siguiente forma:

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& T F

T T F
F F F

2.- Disyunción. La disyunción se forma conectando dos sentencias me-
diante la partícula ’o’, como en ”Hoy comemos pescado o crema de puerros”.
La disyunción de dos sentencias R y S se representa mediante ’R ∨ S’. Pero la
disyunción puede tener un sentido exclusivo (si R es cierto no puede serlo S,
como en ”Vamos a la montaña o a la playa”) y un sentido inclusivo (pueden
ser ciertos simultaneamente R y S, como en ”Hoy comemos pescado o crema
de puerros”). En latín existen partículas diferentes según que el sentido de
la disyunción sea inclusivo (vel) o exclusivo (aut). En Lógica se toma la dis-
yunción en sentido inclusivo, con lo cual la tabla de verdad de la disyunción
es

∨ T F

T T T
F T F

3.- Negación. La negación es una ”conectiva” particular, ya que no co-
necta dos términos, sino que opera sobre un solo término. Sin embargo, sigue
siendo verdaderamente funcional, y por eso se incluye entre las conectivas.
En español se forma con la partícula no. Así, la negación de ”llueve” es ”no
llueve”. En inglés hay más posibilidades. La tabla de verdad de la negación
es trivial:

∼ T F

F T

4.- Condicional. El condicional conecta dos sentencias usando no una
sino dos palabras: si y entonces, como en ”si hace buen tiempo, enton-
ces vamos a la montaña”. Las dos sentencias reciben nombres especiales:
a continuación de si va el antecedente; a continuación de entonces va el
consecuente. La conectiva en sí se representa mediante el símbolo →.

Hay un pequeño problema de ambig¨uedad con el subjuntivo. Véanse por
ejemplo las sentencias: ”si viviese en Granada, entonces estaría en Anda-
lucía” y ”si viviese en Salamanca, entonces estaría en Andalucía”. Para un
madrileño, que ni vive en Andalucía, ni en Salamanca, ni en Granada, la

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primera sentencia, compuesta de dos sentencias falsas, es verdadera. Pero la
segunda, compuesta por dos sentencias falsas, es falsa. Está claro por tan-
to que no todas las conectivas si-entonces son verdaderamente funcionales.
¿Hay algún uso de la conectiva que sea verdaderamente funcional? Y, en ese
caso, ¿cuál es su tabla de verdad? La respuesta a la primera pregunta es sí.
En el contexto de las promesas/recompensas. Por ejemplo: ”si los pedidos
siguen creciendo entonces habrá que contratar más empleados”, que expre-
saríamos como ’P → E’. Es razonable decir que la conectiva es falsa si, siendo
el antecedente verda