Lógica - Proposiciones: Determinar el valor de verdad

Que tal.
Quizá les parezca pavo, pero estoy iniciando en lógica y hay un ejercicio que no puedo resolver. Les comento como es y que intenté:

Supongamos que usted presencia la siguiente discusión entre un amigo (llamémoslo Juan) y su madre:

Juan, mintiéndole a su madre le afirma: “Estoy estudiando.”

Madre: “Si quieres conseguir dinero entonces debes trabajar.”

Ayude a Juan a resolver la validez de la siguiente afirmación: “Si Juan estudia entonces no consigue dinero.”

Lo que yo hice:


P: juan estudia
Q:Juan consigue dinero
R:Juan trabaja

Madre: (Q→R)
Afirmación: (P→¬Q)

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|ٱ P ٱ|ٱ Q ٱ|ٱ R ٱ| (Q→R) | (P→¬Q) |
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|ٱ F ٱ|ٱ F ٱ|ٱ F ٱ|ٱٱ V ٱٱ|ٱٱ V ٱٱ|
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|ٱ F ٱ|ٱ F ٱ|ٱ V ٱ|ٱٱ V ٱٱ|ٱٱ V ٱٱ|
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|ٱ F ٱ|ٱ V ٱ|ٱ F ٱ|ٱٱ F ٱٱ|ٱٱ V ٱٱ|
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|ٱ F ٱ|ٱ V ٱ|ٱ V ٱ|ٱٱ V ٱٱ|ٱٱ V ٱٱ|
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|ٱ V ٱ|ٱ F ٱ|ٱ F ٱ|ٱٱ V ٱٱ|ٱٱ V ٱٱ|
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|ٱ V ٱ|ٱ F ٱ|ٱ V ٱ|ٱٱ V ٱٱ|ٱٱ V ٱٱ|
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|ٱ V ٱ|ٱ V ٱ|ٱ F ٱ|ٱٱ F ٱٱ|ٱٱ F ٱٱ|
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|ٱ V ٱ|ٱ V ٱ|ٱ V ٱ|ٱٱ V ٱٱ|ٱٱ F ٱٱ|
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Bueno, si la afirmación de la madre es verdadera y juan no estudia, ya que mintió al decir que estudia, como dice la tabla, y entrando a descartar opciones, lo único que queda es que la afirmación es verdadera.
Sin embargo, no se como escribirlo con matemática lógica.

Pensé que podrían ser esquemas:

P(x): x estudia
Q(x):x trabaja
R(x):x consigue dinero

Juan:P(x)
Madre:R(x)→Q(x)
Afirmación:P(x)→¬Q(x)

Pero no se que hacer con eso.

Estoy muy confundido. ¿ustedes que dicen?

Muchas Gracias.

Gonzalo, primero, definamos los predicados:

- P(x): x estudia (Juan estudia).
- Q(x): x trabaja (Juan trabaja).
- R(x): x consigue dinero (Juan consigue dinero).

La afirmación de Juan es P(x) → ¬Q(x), que se puede leer como "Si Juan estudia, entonces no consigue dinero". Ahora, analicemos esto utilizando los predicados definidos.

La afirmación es verdadera si y solo si:
1. Juan estudia (P(x)) y Juan no trabaja (¬Q(x)).

Expresado de manera lógica: P(x) Λ ¬Q(x).

Según la afirmación de la madre, si Juan quiere conseguir dinero, debe trabajar: (R(x) → Q(x)).

Ahora, analizamos si es posible que Juan estudie y no consiga dinero bajo estas condiciones:

1. Juan estudia (P(x)).
2. Juan no trabaja (¬Q(x)).
3. Según la afirmación de la madre, Juan no conseguirá dinero (R(x) → Q(x)) no se cumple si Juan no trabaja.

Entonces, la afirmación de Juan es verdadera bajo las condiciones mencionadas. Matemáticamente, esto se expresa como:

(P(x) Λ ¬Q(x)) Λ (R(x) → Q(x))

O también como:

P(x) Λ ¬Q(x) Λ ¬(R(x) → Q(x))

En este contexto, la afirmación de Juan es válida bajo las condiciones establecidas y en concordancia con la afirmación de la madre.