PDF de programación - Tema 1 - Recursividad

TEMA 1

Recursividad

Recursividad

CONTENIDO DEL TEMA

1.- Introducción.
2.- Verificación de funciones y procedimientos recursivos
3.- Escritura de programas recursivos
4.- Ejemplos.
5.- ¿Recursión o iteración?
6.- Depuración
7.- Ejemplos
8.- Asignación estática y dinámica de memoria.

T
E
M
A

1

Introducción

• Definición de Recursividad: Técnica de programación muy

potente que puede ser usada en lugar de la iteración.

• Ambito de Aplicación:

– General
– Problemas cuya solución se puede hallar solucionando el mismo problema

pero con un caso de menor tamaño.

• Razones de uso:

– Problemas “casi” irresolubles con las estructuras iterativas.
– Soluciones elegantes.
– Soluciones más simples.

• Condición necesaria: ASIGNACIÓN DINÁMICA DE MEMORIA

Introducción

• ¿En qué consiste la recursividad?

– En el cuerpo de sentencias del subalgoritmo se invoca al propio

subalgoritmo para resolver “una versión más pequeña” del problema
original.

– Habrá un caso (o varios) tan simple que pueda resolverse directamente

sin necesidad de hacer otra llamada recursiva.

• Aspecto de un subalgoritmo recursivo.

ALGORITMO Recursivo(...)
INICIO
...
Recursivo(...);
...

FIN

Introducción

• Ejemplo: Factorial de un natural.

Factorial(n)=

1

si n == 0

n*Factorial(n-1) si n > 0

Introducción

• Ejemplo: Factorial de un natural.

ALGORITMO N Factorial(E n:N)
VAR

N fact

INICIO

SI n == 0 ENTONCES fact = 1
SINO fact = n*Factorial(n-1)
FINSI
DEVOLVER fact

FIN

Introducción

• ¿Cómo funciona la recursividad?
4!=4*3!

Introducción

• 3!=3*2!

Introducción

•2!=2*1!

Introducción

• 1!=1*0!=1*1

Introducción

Verificación de funciones y
procedimientos recursivos
Método de las tres preguntas

• La pregunta Caso-Base: ¿Existe una salida no recursiva o
caso base del subalgoritmo? Además, ¿el subalgoritmo
funciona correctamente para ella?

• La pregunta Más-pequeño: ¿Cada llamada recursiva se

refiere a un caso más pequeño del problema original?

• La pregunta Caso-General: ¿es correcta la solución en

aquellos casos no base?

Escritura de programas

recursivos

• 1.-Obtención de una definición exacta del problema
• 2.-Determinar el tamaño del problema completo que hay

que resolver

Parámetros en la llamada inicial

• 3.-Resolver el(los) casos bases o triviales (no recursivos).
• 4.-Resolver el caso general en términos de un caso más

pequeño (llamada recursiva).

Distintos parámetros

Ejemplos

• Combinaciones:¿cuántas combinaciones de cierto tamaño pueden

hacerse de un grupo total de elementos?

– C:número total de combinaciones
– Grupo:tamaño total del grupo del que elegir
– Miembros:tamaño de cada subgrupo
– Grupo>=Miembros

C(Grupo,Miembros) -1

-Grupo

si Miembros=1
si Miembros=Grupo

-C(Grupo-1,Miembros-1)+C(Grupo-1,Miembros) si Grupo>Miembros>1

Ejemplos

• FUNCIÓN COMBINACIONES

• Definición:Calcular cuantas combinaciones de tamaño Miembros

pueden hacerse del tamaño total Grupo

• Tamaño:Número de procesos dado en la llamada original
• Casos-base:1)Miembros==1 Combinaciones=Grupo
2)Miembros==Grupo Combinaciones=1

• Caso General:Grupo>Miembros>1

Combinaciones =

Combinaciones(Grupo-1 , Miembros -1) +
Combinaciones( Grupo-1, Miembros)

Ejemplos

ALGORITMO N Comb(E N Grupo, Miembros)
VAR

N cmb

INICIO

SI Miembros == 1 ENTONCES

cmb = Grupo (*Caso Base 1*)

SINOSI Miembros == Grupo ENTONCES

cmb = 1

(*Caso Base 2*)

SINO

(*Caso General*)

cmb = Comb(Grupo-1,Miembros-1) +

Comb(Grupo-1,Miembros)

FINSI
DEVOLVER cmb

FIN
Llamada : Escribir(“Número de combinaciones=“, Comb(20,5))

Ejemplos

• Seguimiento de Comb(4,3)

Comb(4,3)

Comb(3,2)

+

Comb(3,3)

Comb(2,1)

2

+

+

Comb(2,2)

1

+

1

1

=4

Ejemplos

FUNCIÓN FIBONACCI

• Definiciones:Calcular el valor de la función de Fibonacci

para un número n dado.

• Tamaño:Número n de la llamada original
• Casos-base:n<=2
• Caso General:n>2

fib = 1
fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)

Ejemplos

ALGORITMO N Fib(E N n)
VAR

N fb

INICIO
SI

SINO

(n <= 2) ENTONCES
fb = 1

fb = Fib(n-1) + Fib(n-2)

FINSI
DEVOLVER fb

FIN

Ejemplos

• Seguimiento de Fib(4)

Fib(4)

+

Fib(2)

Fib(1)

1

+

1

1

=3

Fib(3)

+

+

Fib(2)

1

Ejemplos

•

Imprimir el equivalente binario de un número decimal

N
23
11
5
2
1
0

N MOD 2

N DIV 2

1
1
1
0
1

11
5
2
1
0

Ejemplos

N

Si N<2

Bin de N=

Binaria de (N DIV 2)||(N MOD 2)

con || la concatenación
• Ventaja: no requiere arrays

Ejemplos

ALGORITMO DecimalAbinario(E N num)
INICIO

SI num >= 2 ENTONCES

DecimalABinario(num DIV 2)
Escribir(num MOD 2)

SINO

Escribir (num)

FINSI

FIN

¿Recursión o iteración?

• Ventajas de la Recursión ya conocidas

– Soluciones simples, claras.
– Soluciones elegantes.
– Soluciones a problemas complejos.

• Desventajas de la Recursión: INEFICIENCIA

– Sobrecarga asociada con las llamadas a subalgoritmos

• Una simple llamada puede generar un gran numero de llamadas

recursivas. (Fact(n) genera n llamadas recursivas)
¿La claridad compensa la sobrecarga?

•
• El valor de la recursividad reside en el hecho de que se puede usar

para resolver problemas sin fácil solución iterativa.

– La ineficiencia inherente de algunos algoritmos recursivos.

¿Recursión o iteración ?

• A veces, podemos encontrar una solución iterativa simple,

que haga que el algoritmo sea más eficiente.

ALGORITMO N Fib(E N n)
VAR

N r = 1, r1 = 1, r2 = 1, i

INICIO

PARA i = 3 HASTA n HACER

r = r1 + r2
r2 = r1
r1 = r

FINPARA
DEVOLVER r

FIN

¿Recursión o iteración?

LA RECURSIVIDAD SE DEBE USAR

CUANDO SEA REALMENTE

NECESARIA, ES DECIR, CUANDO NO
EXISTA UNA SOLUCIÓN ITERATIVA

SIMPLE.

Depuración

ERRORES COMUNES

– Tendencia a usar estructuras iterativas en lugar de estructuras

selectivas. El algoritmo no se detiene.

Comprobar el uso de SI o

CASO

– Ausencia de ramas donde el algoritmo trate el caso-base.
– Solución al problema incorrecta

Seguir el método de las 3

preguntas

Ejemplos

Función ValorEnLista:Buscar el valor Val en un arrayLista:TLista

BUSQUEDA EN UN ARRAY

Solución recursiva

DEVOLVER (Val en 1ª posición)OR(Val en resto del ARRAY)

Para buscar en el resto del ARRAY, uso la misma función ValorEnLista

...

(1)

(2)

(Inicio) (inicio+1)

(Fin)

Ya buscado

Por buscar

Ejemplos

Algoritmo B ValorEnLista(E Tlista l; Tvalor val; E Z ini,fin)
•

Invocación:
SI ValorEnLista(l, val,1,MaxLista) ENTONCES....

• Casos Base:

l[Inicio] == val
ini == fin y l[ini] <> val

Verdadero
Falso

• Caso General:buscar en el resto del ARRAY

ValorEnLista(l, val, ini+1, fin)

Ejemplos

ALGORITMO B ValorEnLista(E Tlista l; E Tvalor val; E Z ini,fin)
(*Busca recursiva en lista de Val dentro del rango del indice

del ARRAY*)

VAR

B enc

INICIO

SI Lista[Inicio] == val ENTONCES

enc = Verdadero

SINOSI ini == fin ENTONCES

enc = Falso

SINO

enc = ValorEnLista(l, val, ini+1, fin)

FINSI
DEVOLVER enc

FIN

Ejemplos

Torres de Hanoi

•

•

Se tienen 3 palos de madera, que llamaremos palo izquierdo, central y derecho.
El palo izquierdo tiene ensartados un montón de discos concéntricos de
tamaño decreciente, de manera que el disco mayor está abajo y el menor
arriba.

El problema consiste en mover los discos del palo izquierdo al derecho

respetando las siguientes reglas:

• - Sólo se puede mover un disco cada vez.
• - No se puede poner un disco encima de otro más pequeño.
• - Después de un movimiento todos los discos han de estar en alguno

de los tres palos.

Leer por teclado un valor N, e imprimir la secuencia de pasos para resolver el
problema.

Ejemplos

A

B

C

Ejemplos

A

B

C

Ejemplos

• Solución recursiva a las Torres de Hanoi
– Si n=1 mueva el disco de A a C y pare
– Mueva los n-1 discos superiores de A a B, con C

auxiliar

– Mueva los discos restantes de A a C
– Mueva los n-1 discos de B a C, usando A como

auxiliar

Ejemplos

Planteamos un procedimiento recursivo con cuatro parámetros:

- El número de discos a mover.
- El palo origen desde donde moverlos.
- El palo destino hacia el que moverlos.
- El palo auxiliar.

ALGORITMO Mueve(E N n; E Tpalos origen,auxiliar,destino)
INICIO

SI n == 1 ENTONCES

Mueve un disco del palo origen al destino

SINO

FINSI

FIN

Mueve(n-1,origen,destino,auxiliar)
Mueve un disco del palo origen al destino
Mueve(n-1,auxiliar,origen,destino)

Ejemplos

ORDENACIÓN RÁPIDA (QUICKSORT)

A..Z

A..L

M..Z

A..F

G..L

Ejemplos

• Solución recursiva a la ordenación rápida.

V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

• Qué información es necesaria para abastecer a OrdRápida?

– Nombre del array
– su tamaño (primer y último índice)

Ejemplos

• El algoritmo básico OrdRápida es:
SI NOT terminado ENTONCES

Dividir el array por un valor V (Pivote)
OrdRápida los elementos menores ó iguales
que V
OrdRápida los elementos mayores que V

• Algoritmo OrdRápida(E/S Tarray Datos; E

Primero,Ultimo:N)

• La llamada sería

OrdRápida (Datos,1,n)

Ejemplos

primero

Punto división

último

V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

• Usamos el valor de Datos[1] como pivote.
• Subalgoritmo Dividir.

<=V

V

>V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Ejemplos

OrdRápida(Datos, Primero, PuntoDivisión-1)
OrdRápida(Datos,Puntodivisión+1,Ultimo)
• ¿Cual es el caso base?

– Si el segmento de array tiene menos de dos elementos:SI Primero<Ultimo
ALGORITMO OrdRápida(E/S Tarray Datos; E N Primero,Ultimo)
VAR

N PuntoDivision

INICIO

SI Primero<Ultimo ENTONCES

Dividir(Datos,Primero,Ultimo,PuntoDivision)
OrdRápida(Datos,Primero,PuntoDivision)
OrdRápida(Datos,PuntoDivision+1,Ultimo)

FINSI

FIN

Ejemplos

a) Inicialización V=Datos[1] =9

9

20

6

10

14

b) Mover Izq a la derecha hasta que Datos[Izq]>V

Izq

6

10

14

9

20

Izq

8

8

60

11

Dcha

60

11

Dcha

c) Mover Dcha a la izquierda hasta que Datos[Dcha]<=V

9

20

Izq

6

10

14

8

60

11