PDF de programación - Calculo Diferencial en R

CÁLCULO DIFERENCIAL EN Rn

Francisco Javier Pérez González

Departamento de Análisis Matemático

Universidad de Granada

Septiembre de 2016

I

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Dpto. de Análisis Matemático

Prof. Javier Pérez
Cálculo Diferencial en Rn

Índice general

1. Estructura euclídea y topología de Rn

1.1. Producto escalar y norma euclídeos

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1.2. Espacios normados y espacios métricos

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1.3. Topología de un espacio métrico .

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1

1

4

6

.

.

.

1.4. Continuidad .

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. 13

1.5. Límite funcional . . . . .

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. 22

1.6. Continuidad y límites de campos escalares y vectoriales .

. . . . .

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. 23

2. Derivadas parciales y extremos relativos de campos escalares

33

2.1. Derivadas parciales. Vector gradiente . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. 34

2.1.1.

Interpretación geométrica de las derivadas parciales . . . .

. . . . . .

. 35

2.1.2. Campos escalares diferenciables . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. 36

2.2. Rectas tangentes y planos tangentes

. . . . .

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. 41

2.3. Derivadas parciales de orden superior

. . . .

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. . . . .

. . . . . .

. 45

2.4. Teorema de Taylor. Extremos relativos . . . .

. . . . . .

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. . . . . .

. 49

3. Derivación de campos vectoriales

58

3.1. Derivada de un campo vectorial. Matriz jacobiana . . . .

. . . . .

. . . . . .

. 58

3.1.1. El espacio normado L.Rn; Rm/ . . .

. . . . . .

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. . . . . .

. 59

3.1.2. Regla de la cadena. Derivadas parciales de funciones compuestas

. .

. 62

3.1.3. Teorema del valor medio para campos vectoriales . . . . .

. . . . . .

. 67

II

Índice general

III

3.2. Teorema de la función inversa

. .

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. . . . .

. . . . . .

. 68

3.3. Teorema de la función implícita

.

. . . . . .

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. . . . .

. . . . . .

. 73

3.4. Variedades diferenciables en Rn .

. . . . . .

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. . . . .

. . . . . .

. 83

3.5. Espacios tangente y normal . . . .

. . . . . .

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. . . . . .

. 88

3.6. Extremos condicionados

. . . . .

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. . . . . .

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. 91

3.6.1. Cálculo de extremos absolutos . . . .

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. 98

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Cálculo Diferencial en Rn

Capítulo1

Estructura euclídea y topología de Rn

1.1. Producto escalar y norma euclídeos

Como sabes, Rn es un espacio vectorial en el que suele destacarse la llamada base canónica
formada por los vectores fe1; e2; : : : ; eng donde ek es el vector cuyas componentes son todas
nulas excepto la que ocupa el lugar k que es igual a 1.
1.1 Definición. Dados dos vectores x D .x1; x2; : : : ; xn/, y D .y1; y2; : : : ; yn/ se define su
producto escalar por:

n

XkD1

y˛ D

xk yk D x1y1 C x2y2 C


C xnyn

˝xˇˇ

Este producto escalar se llama producto escalar euclídeo.

Observa que el producto escalar de dos vectores no es un vector sino un número real.
La notación x.y es frecuentemente usada en los libros de Física para representar el producto
escalar de los vectores x e y.

Propiedades del producto escalar.

1. ˝xˇˇx˛ > 0, y ˝xˇˇx˛ D 0 ” x D 0.
2. Simetría. ˝xˇˇy˛ D˝yˇˇx˛ para todos x; y 2 Rn.
3. Linealidad. ˝˛ x C ˇ yˇˇz˛D ˛˝xˇˇz˛C ˇ˝yˇˇz˛ para todos ˛; ˇ2 R y para todos x; y; z2 Rn.

1

Producto escalar y norma euclídeos

2

Dichas propiedades del producto escalar se deducen fácilmente de su definición.
1.2 Definición. La norma euclídea de un vector x D .x1; x2; : : : ; xn/ se define por

kxk2 Dq˝xˇˇx˛ Dp n
XkD1

x2
k

Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Para todos x; y 2 Rn se verifica que

Además, supuesto que x e y no son nulos, la igualdad ˇˇ˝xˇˇy˛ˇˇ D kxk2kyk2 equivale a que
exista un número 2 R tal que x D y (es decir, los vectores x e y están en una misma recta
que pasa por el origen).

ˇˇ˝xˇˇy˛ˇˇ 6 kxk2kyk2

Propiedades de la norma euclídea.

1. kxk2 > 0, y kxk2 D 0 ” x D 0.
2. Homogeneidad. kxk2 D jjkxk2 para todo x2 Rn y todo 2 R.
3. Desigualdad triangular. Para todos x; y 2 Rn se verifica que
kx C yk2 6 kxk2 C kyk2

Además, supuesto que x e y no son nulos, la igualdad kx C yk2 D kxk2 C kyk2 equivale
a que hay un número  > 0 tal que x D y (es decir, los vectores x e y están en una misma
semirrecta que pasa por el origen).

1.3 Definición. Se dice que los vectores x e y son ortogonales, y escribimos x ? y, cuando
su producto escalar es cero. Se dice que un vector x es ortogonal a un conjunto de vectores
E  Rn cuando x es ortogonal a todo vector en E. Un conjunto de vectores no nulos que
son mutuamente ortogonales se dice que es un conjunto ortogonal de vectores; si, además,
los vectores tienen todos norma 1 se dice que es un conjunto ortonormal de vectores. Una
base vectorial que también es un conjunto ortogonal (ortonormal) se llama una base ortogonal
(ortonormal).

Si x e y son vectores no nulos, el vector

se llama proyección ortogonal de x sobre y.

Qy .x/ D ˝xˇˇy˛
˝yˇˇy˛

y

El vector x Qy .x/ es ortogonal a y. En particular, si y es un vector unitario (de norma
1) entonces el vector x ˝xˇˇy˛ y es ortogonal a y.

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Cálculo Diferencial en Rn

Producto escalar y norma euclídeos

3

Ejercicios propuestos

1. Particulariza las definiciones y propiedades anteriores para el caso n D 1, es decir, para

R.

2. Prueba la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Sugerencia. Comprueba que la ecuación˝x  yˇˇx  y˛D 0, en la que  es un número

real arbitrario y x e y son vectores que se suponen fijos, es un trinomio de segundo
grado en la variable . Ten en cuenta que dicho trinomio toma siempre valores mayores
o iguales que cero lo que proporciona información sobre su discriminante.

3. Prueba la desigualdad triangular.

Sugerencia. Una estrategia para probar desigualdades entre normas euclídeas es elevar al
cuadrado. La desigualdad kx C yk2
triangular pero es fácil de probar desarrollando kx C yk2
desigualdad de Cauchy-Schwarz.

2 6kxk2 C kyk2
2 es equivalente a la desigualdad
2 D˝x C yˇˇx C y˛ y usando la

4. Teorema de Pitágoras. Prueba que los vectores x e y son ortogonales si, y solo si

2 C kyk2

2

kx C yk2

2 D kxk2
5. Prueba que el vector x Qy .x/ es ortogonal a y.
1.4 Definición. La distancia euclídea en Rn es la aplicación d2 W Rn  Rn ! RC

o definida por:

.x; y 2 Rn/
La distancia euclídea entre los vectores x e y es el número d2.x; y/.

d2.x; y/ D kx yk2

Las siguientes propiedades de la distancia euclídea se deducen fácilmente de las de la norma

euclídea.

Propiedades de la distancia euclídea.

1. d2.x; y/ > 0, y d2.x; y/ D 0 ” x D y.
2. Simetría. d2.x; y/ D d2.y; x/ para todos x; y 2 Rn.
3. Homogeneidad. d2.x; y/ D jj d2.x; y/ para todos x; y 2 Rn y todo 2 R.
4. Desigualdad triangular. d2.x; y/ 6 d2.x; z/ C d2.z; y/ para todos x; y; z2 Rn.

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Espacios normados y espacios métricos

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1.2. Espacios normados y espacios métricos

Las propiedades de la norma y de la distancia euclídeas en Rn se pueden abstraer dando

lugar a los conceptos de espacio normado y espacio métrico.

1.5 Definición. Sea X un espacio vectorial real. Una norma sobre X es una aplicación
k k W X ! RC

o que verifica las siguientes propiedades:

1. kxk D 0 ” x D 0.
2. Homogeneidad. kxk D jjkxk para todo 2 R y todo x2 X .
3. Desigualdad triangular. kx C yk 6 kxk C kyk para todos x; y 2 X .

El par ordenado .X;k k/ se llama un espacio normado.

Naturalmente, sobre un mismo espacio vectorial pueden considerarse distintas normas, ca-
da una de ellas da lugar a un espacio normado diferente. Para tener en cuenta este hecho se dice
que un espacio normado es un par ordenado .X;k k/ formado por un espacio vectorial real X
y una norma. No obstante, con frecuencia se dice simplemente “sea X un espacio normado” y
se sobreentiende que X es un espacio vectorial real en el que está definida una norma concreta.

1.6 Ejemplos. En Rn suelen considerarse, además de la norma euclídea, la norma de la suma,
k k1, y la norma del máximo, k k1, definidas para todo x2 Rn por:

n

XkD1

jxkj

kxk1 D
kxk1 D mKaxfjxkj W 1 6 k 6 ng

En el espacio vectorial, B.A/, de todas las funciones reales acotadas definidas en un con-

junto no vacío A  R, se define la norma uniforme dada para toda f 2 B.A/ por:

kf k1 D sup fjf .t /j W t 2 Ag :

En el espacio vectorial, C .Œa; b/, de todas las funciones reales continuas definidas en un

intervalo Œa; b, se define la norma integral de orden 1 dada para todo f 2 C .Œa; b/ por:

kf k1 D

bw

a

jf .t /j dt

1.7 Definición. Sea E un conjunto cualquiera no vacío. Una distancia en E es una aplicación
d W E  E ! RC

o que verifica las siguientes propiedades:

1. d.x; y/ D 0 ” x D y.
2. Simetría. d.x; y/ D d.y; x/ para todos x; y 2 E.
3. Desigualdad triangular. d.x; y/ 6 d.x; z/ C d.z; y/ para todos x; y; z2 E.

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