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Teoría de Grafos

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Teoría de grafos

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Teoría de grafos

En matemáticas y en ciencias de la computación, la
teoría de grafos (también llamada teoría de las
gráficas) estudia las propiedades de los grafos
(también
llamadas gráficas). Un grafo es un
conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o
nodos) y una selección de pares de vértices,
llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser
orientados o no. Típicamente, un grafo se representa
mediante una serie de puntos
(los vértices)
conectados por líneas (las aristas).

Diagrama de un grafo con 6 vértices y 7 aristas.

Historia
El trabajo de Leonhard Euler, en 1736, sobre el problema de los
puentes de Königsberg es considerado el primer resultado de la teoría
de grafos. También se considera uno de los primeros resultados
topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este
ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la
topología.
En 1845 Gustav Kirchhoff publicó sus leyes de los circuitos para
calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos.
En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores que
plantea si es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear
cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca
tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang
Haken, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos
definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.

Puentes de Königsberg.

Estructuras de datos en la representación de grafos
Existen diferentes formas de almacenar grafos en una computadora. La estructura de datos usada depende de las
características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se
encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son
preferidas en grafos dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen
acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

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Estructura de lista
•

•

lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido),
donde cada par representa una de las aristas.[1]
lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa
redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las
búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra.

En esta estructura de datos la idea es asociar a cada vertice i del grafo una lista que contenga todos aquellos vértices j
que sean adyacentes a él. De esta forma sólo reservará memoria para los arcos adyacentes a i y no para todos los
posibles arcos que pudieran tener como origen i. El grafo, por tanto, se representa por medio de un vector de n
componentes (si |V|=n) donde cada componente va a ser una lista de adyacencia correspondiente a cada uno de los
vértices del grafo. Cada elemento de la lista consta de un campo indicando el vértice adyacente. En caso de que el
grafo sea etiquetado, habrá que añadir un segundo campo para mostrar el valor de la etiqueta.
Ejemplo

adyacencia

lista

de

de

Estructuras matriciales
• Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde [arista,

vértice] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)

• Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño
número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento
contrario, es 0.

, donde

es el
es 1, de lo

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Definiciones

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Vértice
Los vértices constituyen uno de los dos elementos que forman un grafo. Como ocurre con el resto de las ramas de
las matemáticas, a la Teoría de Grafos no le interesa saber qué son los vértices.
Diferentes situaciones en las que pueden identificarse objetos y relaciones que satisfagan la definición de grafo
pueden verse como grafos y así aplicar la Teoría de Grafos en ellos.

Grafo

es el conjunto de vértices, y

Un grafo es una pareja de conjuntos
,
donde
es el
conjunto de aristas, este último es un conjunto de
pares de la forma
, tal que
. Para simplificar, notaremos la arista
como

tal que

.

En la figura, V = { a, b, c, d, e, f }, y A = { ab, ac, ae, bc, bd, df, ef }.

En teoría de grafos, sólo queda lo esencial del
dibujo: la forma de las aristas no son relevantes, sólo
importa a qué vértices están unidas. La posición de los vértices tampoco importa, y se puede variar para obtener un
dibujo más claro.
Muchas redes de uso cotidiano pueden ser modeladas con un grafo: una red de carreteras que conecta ciudades, una
red eléctrica o la red de drenaje de una ciudad.

Subgrafo
Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyos conjuntos de vértices y aristas son subconjuntos de los de G. Se dice
que un grafo G contiene a otro grafo H si algún subgrafo de G es H o es isomorfo a H (dependiendo de las
necesidades de la situación).
El subgrafo inducido de G es un subgrafo G' de G tal que contiene todas las aristas adyacentes al subconjunto de
vértices de G.
Definición:
Sea G=(V, A). G’=(V’,A’) se dice subgrafo de G si:
1- V’ V
2- A' A
3- (V’,A’) es un grafo
• Si G’=(V’,A’) es subgrafo de G, para todo v G se cumple gr (G’,v)≤ gr (G, v)
G2 es un subgrafo de G.

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Aristas dirigidas y no dirigidas
En algunos casos es necesario asignar un sentido a
las aristas, por ejemplo, si se quiere representar la
red de las calles de una ciudad con sus direcciones
únicas. El conjunto de aristas será ahora un
subconjunto de todos los posibles pares ordenados
de vértices, con (a, b) ≠ (b, a). Los grafos que
contienen aristas dirigidas se denominan grafos
orientados, como el siguiente:
Las aristas no orientadas se consideran bidireccionales para efectos prácticos (equivale a decir que existen dos aristas
orientadas entre los nodos, cada una en un sentido).
En el grafo anterior se ha utilizado una arista que tiene sus dos extremos idénticos: es un lazo (o bucle), y aparece
también una arista bidireccional, y corresponde a dos aristas orientadas.
Aquí V = { a, b, c, d, e }, y A = { (a, c), (d, a), (d, e), (a, e), (b, e), (c, a), (c, c), (d, b) }.
Se considera la característica de "grado" (positivo o negativo) de un vértice
), como la
cantidad de aristas que llegan o salen de él; para el caso de grafos no orientados, el grado de un vértice es
simplemente la cantidad de aristas incidentes a este vértice. Por ejemplo, el grado positivo (salidas) de d es 3,
mientras que el grado negativo (llegadas) de d es 0.
Según la terminología seguida en algunos problemas clásicos de Investigación Operativa (p.ej.: el Problema del flujo
máximo), a un vértice del que sólo salen aristas se le denomina fuente (en el ejemplo anterior, el vértice d); tiene
grado negativo 0. Por el contrario, a aquellos en los que sólo entran aristas se les denomina pozo o sumidero (en el
caso anterior, el vértice e); tiene grado positivo 0. A continuación se presentan las implementaciones en maude de
grafos no dirigidos y de grafos dirigidos.En los dos casos, las especificaciones incluyen, además de las operaciones
generadoras, otras operaciones auxiliares.

(y se indica como

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Ciclos y caminos hamiltonianos
Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes,
donde no se recorre dos veces la misma arista, y
donde se regresa al punto
inicial. Un ciclo
hamiltoniano tiene además que recorrer todos los
vértices exactamente una vez (excepto el vértice del
que parte y al cual llega).
Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del
Louvre), lo idóneo sería recorrer todas las salas una
sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano en el
grafo que representa el museo (los vértices son las
salas, y las aristas los corredores o puertas entre
ellas).
Se habla también de camino hamiltoniano si no se
impone regresar al punto de partida, como en un
museo con una única puerta de entrada. Por ejemplo,
un caballo puede recorrer todas las casillas de un
tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma:
es un camino hamiltoniano. Ejemplo de un ciclo hamiltoniano en el grafo del dodecaedro.
Hoy en día, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo hamiltoniano en tiempo polinómico, siendo la
búsqueda por fuerza bruta de todos los posibles caminos u otros métodos excesivamente costosos. Existen, sin
embargo, métodos para descartar la existencia de ciclos o caminos hamiltonianos en grafos pequeños.
El problema de determinar la existencia de ciclos hamiltonianos, entra en el conjunto de los NP-completos.

Ejemplo de un ciclo hamiltoniano.

Caracterización de grafos

Grafos simples
Un grafo es simple si a lo sumo sólo 1 arista une dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista
cualquiera es la única que une dos vértices específicos.
Un grafo que no es simple se denomina Multigráfica o Gráfo múltiple.

Grafos conexos
Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices
(a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.
Un grafo es fuertemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir,
es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo e