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APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003

HISTORIA DE LOS LOGARITMOS



MARCO HISTÓRICO

M.O. Francisco Javier Tapia Moreno

El paso de la Edad Media a los tiempos modernos estuvo marcado por transformaciones
cuyos resultados generaron un nuevo estilo de vida. A fines del siglo XV, con la decadencia
del feudalismo en Europa, aumenta el poder de una nueva clase social, la burguesía. Ésta
comienza a otorgar préstamos a interés, condenados hasta ese entonces como usura. El
advenimiento del capitalismo, que estimula la acumulación de riquezas y justifica el lucro,
se ve afianzado, además, por los grandes descubrimientos geográficos, que permiten a
algunos puertos europeos convertirse en pequeñas capitales financieras y bancarias. Son
tiempos de grandes cambios culturales y, sobre todo, de un apasionado retorno a las fuentes
antiguas. En cuanto a la ciencia, se origina un proceso de secularización de la misma, donde
el científico es generalmente el burgués. El hombre comienza a observar la naturaleza, a
experimentar, a usar su razón con verdadero espíritu de investigación. La Matemática,
prácticamente inactiva en Europa desde el siglo IV d.C. en que murieron Pappus y
Diofanto, también reaparece en esta época. Afortunadamente, los árabes, que habían
traducido los antiguos manuscritos griegos, fueron durante más de medio milenio los leales
guardianes de aquellos conocimientos, a los que agregaron sus propios descubrimientos.

Italia abre el camino con Scipio Ferro (1465-1526), Niccolo Fontana -apodado Tartaglia-
(1500-1557) y Girolamo Cardano (1501-1576). En Alemania surgen Stifel, Durero y
Copérnico. La escena se traslada nuevamente a Italia con Galileo Galilei (1564-1642). Vive
en esta época también el gran astrónomo alemán Johann Kepler (1571-1630). En la última
mitad de siglo XVI Francia produce a François Viète, Escocia a John Napier y en Suiza
nace Jobst Burgi.



CAUSAS DEL DESCUBRIMIENTO

A partir del siglo XVI, los cálculos que se precisaban hacer, debido principalmente a la
expansión comercial y al perfeccionamiento de las técnicas de navegación, eran de tal
magnitud que surgía la necesidad de encontrar algoritmos menos laboriosos que los
utilizados hasta entonces, es decir, algoritmos de la multiplicación, de la división, etc.

El descubrimiento de los logaritmos no se produjo aisladamente, por un único proceso. Dos
caminos condujeron a su hallazgo: los cálculos trigonométricos para las investigaciones
astronómicas aplicables a la navegación, y el cálculo de las riquezas acumuladas en lo que
se refiere a las reglas de interés compuesto. Ambos caminos inspiraron respectivamente a
John Napier y a Jobst Bürgi en el descubrimiento de los logaritmos.

Henry Briggs, quien fue el primero que hizo las tablas logarítmicas en base 10, en el año
1631, en su obra Logarithmall Arithmetike, explica el objetivo de la invención de los



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APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003
logaritmos: "Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los
problemas de aritmética y geometría... Con ellos se evitan todas las molestias de las
multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen
solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa
operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad... En una palabra,
con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas,
no sólo de aritmética y geometría, sino también de astronomía."



PRECURSORES: ARQUÍMEDES Y STIFEL

Los orígenes del descubrimiento, o invención, de los logaritmos se remontan hasta
Arquímedes, en la comparación de las sucesiones aritméticas con las geométricas. Para
comprender tal comparación escribamos, por ejemplo, las siguientes dos sucesiones:

1

2

2

4

3

8

4

5

6

7

8

9

16

32

64 128 256 512

A los números de la primera sucesión, que es aritmética, los llamaremos logaritmos; a los
de la segunda sucesión (la de abajo), que es geométrica, los llamaremos antilogaritmos.

La regla de Arquímedes, según expresa Hoeben, dice que "para multiplicar entre sí dos
números cualesquiera de la sucesión de abajo, debemos sumar los dos números de la
sucesión de arriba situados encima de aquellos dos. Luego debe buscarse en la misma
sucesión de arriba dicha suma. El número de la sucesión inferior que le corresponda
debajo será el producto deseado".

Esta comparación de dos sucesiones vuelve a aparecer en el siglo XVI, en los trabajos de
un matemático alemán, Miguel Stifel (1487-1567), quien publicó en Nuremberg su
"Arithmetica integra" en el año 1544. En esta obra se encuentra por primera vez el cálculo
con potencias de exponente racional cualquiera y, en particular, la regla de la
multiplicación:

, para todos los números racionales n, m.

Stifel da también la primera tabla de logaritmos que existe, aunque en forma muy
rudimentaria. Contiene sólo los números enteros desde -3 hasta 6, y las correspondientes
potencias de 2:

-3

-2

-1

0

1/8 1/4 1/2 1

1

2

2

4

3

4

5

6

8 16 32 64

A los números de la sucesión superior los denominó exponentes.

Pero para hacer realmente aplicables los logaritmos al cálculo numérico, le faltaba a Stifel
todavía un medio auxiliar importante, las fracciones decimales; y sólo cuando se
popularizaron éstas, después del año 1600, surgió la posibilidad de construir verdaderas
tablas logarítmicas.



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En una parte de su libro, Stifel hace la siguiente observación: "Se podría escribir todo un
libro nuevo sobre las propiedades maravillosas de esos números, pero debo ponerme coto a
mí mismo en este punto y pasar de largo con los ojos cerrados". Más adelante agrega: "La
adición en la sucesión aritmética corresponde a la multiplicación en la geométrica, lo
mismo que la sustracción en aquélla corresponde a la división en ésta. La simple
multiplicación en la sucesión aritmética, corresponde a la multiplicación por sí mismo,
potenciación, en la geométrica; y la división en la primera corresponde a la extracción de la
raíz en la segunda, algo así como la división por dos, corresponde a la extracción de la raíz
cuadrada".

Por ejemplo, si se tuviera que multiplicar 2 por 16, sólo se tendría que sumar los números
de la sucesión aritmética que se hallan encima de éstos, es decir, 1 y 4, obteniéndose 5.
Debajo de éste encontramos el número 32 de la sucesión geométrica, que es el resultado de
la multiplicación. Para efectuar una división se realiza una sustracción. Así, 256 dividido
32, se hace 8 – 5 = 3, debajo del cual se ve el número 8, que es el resultado de la división.
La potenciación, llamada por Stifel "multiplicación por sí mismo", se efectúa por la suma
"consigo mismo" del correspondiente número aritmético. Es decir, para hacer 64 se suma
tres veces el número 2, que es el correspondiente en la sucesión aritmética al número 4. O
sea, 2+2+2 = 6 o
, debajo del cual encontramos el 64, lo que significa que este
número es el cubo de 4. La radicación se obtiene mediante la división. Así, la raíz cúbica de
64, se obtiene dividiendo al número 6, que es el correspondiente número aritmético de 64,
por 3. Es decir, 6 3 = 2, debajo del cual encontramos el 4.



JOHN NAPIER

Durante la última parte del siglo XVI, Dinamarca llegó a ser un importante centro de
estudios sobre problemas relacionados con la navegación. Dos matemáticos daneses,
Wittich y Clavius (cuya obra De Astrolabio se publicó en 1593), sugirieron la aplicación de
las tablas trigonométricas para abreviar los cálculos, mediante el uso de las fórmulas del
seno y del coseno de la suma de dos ángulos. Este recurso de cálculo sirvió probablemente
de inspiración al escocés John Napier (1550-1617), cuyo nombre latinizado es Neper, en la
deducción de un método sencillo para multiplicar senos de ángulos por un proceso de
adición directa. El descubrimiento de Napier fue ávidamente acogido por los astrónomos
Tycho Brahe y Johann Kepler. En el año 1614 en Edimburgo aparecen sus Mirifici
logarithmorum canonis descriptio, o “descripción de la maravillosa regla de los
logaritmos”, es decir, las primeras tablas de logaritmos; sin embargo, no se describe aquí la
forma en que fueron construidas. A inicios de 1619, dos años después de su muerte, aparece
el procedimiento utilizado, bajo el título Mirifici logarithmorum canonis constructio, es
decir, “construcción de la maravillosa regla de los logaritmos”.

Napier fue el inventor de la palabra logaritmo (del griego "logos", razón, y "arithmos",
número: número de razones, pues en el caso de ser el logaritmo un número entero, es el
número de factores que se toman de la razón dada (base) para obtener el antilogaritmo.
Además, introdujo los logaritmos mediante una concepción cinemática, cuyo origen, según
él se imaginaba, era un movimiento sincrónico, una especie de fluctuación entre dos
sucesiones. A continuación se describe esta concepción.



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