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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

Ecuaciones diferenciales “elementales”

http://euler.us.es/~renato/

R. Álvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla

Aplicaciones EDOs de 1o orden

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

¿Qué es la modelización?

¿Cómo explicar y predecir
los fenómenos naturales?

Movimiento de gotas de líquido
sobre una placa en movimiento

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

0π/2π3π/22πφ-1-0.500.51v (cm/s) Una polémica muy antigua.

VS
Fourier: El estudio profundo de la
naturaleza es el campo más fértil pa-
ra los descubrimientos matemáticos.
Ese estudio ofrece no sólo la venta-
ja de un objetivo bien definido, sino
también la de excluir cuestiones va-
gas y cálculos inútiles. Es un medio
para construir el análisis en sí mismo
y para descubrir qué ideas importan
verdaderamente y cuáles debe pre-
servar la ciencia.
Théorie analytique de la chaleur, 1822
Jacobi: Es cierto que Fourier pien-
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
sa que el objeto prioritario de la

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

Una polémica muy antigua

VS

Hardy: Nunca he hecho nada
“útil”. Ningún descubrimiento
mío ha supuesto [...]
la más
mínima alteración en el bienes-
tar del mundo.

Lobachevsky: No hay rama de
la Matemática, por abstracta
que sea, que no se aplique algún
día a los fenómenos del mundo
real.

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

Una polémica muy antigua

VS

Hardy: Nunca he hecho nada
“útil”. Ningún descubrimiento
mío ha supuesto [...]
la más
mínima alteración en el bienes-
tar del mundo.
Curiosidad: Resultados de Hardy se usan en criptografía y en
genética.

Lobachevsky: No hay rama de
la Matemática, por abstracta
que sea, que no se aplique algún
día a los fenómenos del mundo
real.

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo

Galileo: La filosofía [natural] está escrita en ese
grandioso libro que tenemos abierto ante los
ojos, (quiero decir, el universo), pero no se pue-
de entender si antes no se aprende a entender
la lengua, a conocer los caracteres en los que
está escrito. Está escrito en lengua matemática
y sus caracteres son triángulos, círculos y otras
figuras geométricas, sin las cuales es imposible
entender ni una palabra; sin ellos es como girar
vanamente en un oscuro laberinto. (Il Saggia-
tore, 1623)

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo

Galileo: La filosofía [natural] está escrita en ese
grandioso libro que tenemos abierto ante los
ojos, (quiero decir, el universo), pero no se pue-
de entender si antes no se aprende a entender
la lengua, a conocer los caracteres en los que
está escrito. Está escrito en lengua matemática
y sus caracteres son triángulos, círculos y otras
figuras geométricas, sin las cuales es imposible
entender ni una palabra; sin ellos es como girar
vanamente en un oscuro laberinto. (Il Saggia-
tore, 1623)
Einstein: El que no posee el don de maravillarse
ni de entusiasmarse más le valdría estar muerto,
porque sus ojos están cerrados.

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo

Galileo: La filosofía [natural] está escrita en ese
grandioso libro que tenemos abierto ante los
ojos, (quiero decir, el universo), pero no se pue-
de entender si antes no se aprende a entender
la lengua, a conocer los caracteres en los que
está escrito. Está escrito en lengua matemática
y sus caracteres son triángulos, círculos y otras
figuras geométricas, sin las cuales es imposible
entender ni una palabra; sin ellos es como girar
vanamente en un oscuro laberinto. (Il Saggia-
tore, 1623)
Einstein: El que no posee el don de maravillarse
ni de entusiasmarse más le valdría estar muerto,
porque sus ojos están cerrados.

Esta curiosidad por entender el mundo y su
lenguaje es lo que hace que muchos de no-
sotros estudiemos física y matemáticas.

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

El misterio

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

El misterio

Einstein: En Geometría y Experiencia (1921)
Einstein comentó: “Es increible que la ma-
temática, habiendo sido creada por la men-
te humana, logre describir la naturaleza con
tanta precisión”.

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

El misterio

Einstein: En Geometría y Experiencia (1921)
Einstein comentó: “Es increible que la ma-
temática, habiendo sido creada por la men-
te humana, logre describir la naturaleza con
tanta precisión”.

Wigner: En un artículo de 1960 titulado: Un-
reasonable Effectiveness of Mathematics in
the Natural Sciences, Wigner escribió: “El
milagro de la adecuación del lenguaje de las
matemáticas para la formulación de las leyes
de la física es un regalo maravilloso que ni
entendemos ni merecemos”.

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

No debemos olvidar que ...

Riqueza de la Matemática = Problemas puros aplicados

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

No debemos olvidar que ...

Riqueza de la Matemática = Problemas puros aplicados

Hacer/estudiar Matemáticas, tanto útiles (Fourier) como inútiles
(Hardy) sin olvidar nunca el espíritu de Lobachevsky y Galileo.

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

No debemos olvidar que ...

Riqueza de la Matemática = Problemas puros aplicados

Hacer/estudiar Matemáticas, tanto útiles (Fourier) como inútiles
(Hardy) sin olvidar nunca el espíritu de Lobachevsky y Galileo.

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

No debemos olvidar que ...

Riqueza de la Matemática = Problemas puros aplicados

Hacer/estudiar Matemáticas, tanto útiles (Fourier) como inútiles
(Hardy) sin olvidar nunca el espíritu de Lobachevsky y Galileo.

Las Matemáticas, y en particular el análisis, son el verdadero

lenguaje de la naturaleza

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

EDOs lineales

La ecuación

d y (x)

dx

(1)

+ a(x)y (x) = b(x),

a(x), b(x) ∈ CI .

se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denomina
ecuación homogénea y si b(x) = 0, ecuación no homogénea.

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

EDOs lineales

La ecuación

(1)

d y (x)

dx

+ a(x)y (x) = b(x),

a(x), b(x) ∈ CI .

se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denomina
ecuación homogénea y si b(x) = 0, ecuación no homogénea.Su
solución general se expresa por

y (x) = Ce− a(x) dx + e− a(x) dx

a(x) dx b(x) dx

e



R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

EDOs lineales

La ecuación

(1)

d y (x)

dx

+ a(x)y (x) = b(x),

a(x), b(x) ∈ CI .

se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denomina
ecuación homogénea y si b(x) = 0, ecuación no homogénea.Su
solución general se expresa por

y (x) = Ce− a(x) dx + e− a(x) dx

a(x) dx b(x) dx

e



Para probarlo basta sustituir la función y (x) anterior en la EDO y
usar el Teorema fundamental del Cálculo.

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

EDOs lineales

La ecuación

(1)

d y (x)

dx

+ a(x)y (x) = b(x),

a(x), b(x) ∈ CI .

se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denomina
ecuación homogénea y si b(x) = 0, ecuación no homogénea.Su
solución general se expresa por

y (x) = Ce− a(x) dx + e− a(x) dx

a(x) dx b(x) dx

e



Para probarlo basta sustituir la función y (x) anterior en la EDO y
usar el Teorema fundamental del Cálculo.

El PVI correspondiente a la ecuación (1) es el problema

d y (x)

dx

+ a(x)y (x) = b(x),

a(x), b(x) ∈ CI ,

y (x0) = y0.

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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

EDOs con Maxima

Para resolver EDOS analíticamente con Maxima usamos el
comando ode2 cuya sintaxis es

ode2(eqn, variable dependiente, variable independiente)

y que resuelve EDOs de primer y segundo orden.
Por ejemplo, resolvamos la EDO z = −z + x:

ode2(’diff(z,x)=x-z,z,x)$

Para resolver el PVI z = −z + x, y (0) = 1 hay que usar el
comando ic1 cuya sintaxis es

ic1(solución, valor de x, valor de y)

donde solución es la solución general que da el comando ode2 y
el valor de x y el valor de y, son los valores que toma la y
cuando x = x0, i.e., los valores iniciales. Así tenemos

expand(ic1(%,x=1,z=2));

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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

EDOs con Maxima

Ejemplo: Encontrar la solución de la EDO lineal

+ x y = 2x.

y (x) = Ce− a(x) dx + e− a(x) dx

a(x) dx b(x) dx

e

d y
d x



Luego

R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

EDOs con Maxima

Ejemplo: Encontrar la solución de la EDO lineal

+ x y = 2x.

y (x) = Ce− a(x) dx + e− a(x) dx

a(x) dx b(x) dx

e

d y
d x



Luego

y = Ce− x2

2
  • Links de descarga
http://lwp-l.com/pdf12494

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