Publicado el 12 de Julio del 2018
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Creado hace 6a (03/07/2017)
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Ecuaciones diferenciales “elementales”
http://euler.us.es/~renato/
R. Álvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla
Aplicaciones EDOs de 1o orden
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
¿Qué es la modelización?
¿Cómo explicar y predecir
los fenómenos naturales?
Movimiento de gotas de líquido
sobre una placa en movimiento
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
0π/2π3π/22πφ-1-0.500.51v (cm/s) Una polémica muy antigua.
VS
Fourier: El estudio profundo de la
naturaleza es el campo más fértil pa-
ra los descubrimientos matemáticos.
Ese estudio ofrece no sólo la venta-
ja de un objetivo bien definido, sino
también la de excluir cuestiones va-
gas y cálculos inútiles. Es un medio
para construir el análisis en sí mismo
y para descubrir qué ideas importan
verdaderamente y cuáles debe pre-
servar la ciencia.
Théorie analytique de la chaleur, 1822
Jacobi: Es cierto que Fourier pien-
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
sa que el objeto prioritario de la
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Una polémica muy antigua
VS
Hardy: Nunca he hecho nada
“útil”. Ningún descubrimiento
mío ha supuesto [...]
la más
mínima alteración en el bienes-
tar del mundo.
Lobachevsky: No hay rama de
la Matemática, por abstracta
que sea, que no se aplique algún
día a los fenómenos del mundo
real.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Una polémica muy antigua
VS
Hardy: Nunca he hecho nada
“útil”. Ningún descubrimiento
mío ha supuesto [...]
la más
mínima alteración en el bienes-
tar del mundo.
Curiosidad: Resultados de Hardy se usan en criptografía y en
genética.
Lobachevsky: No hay rama de
la Matemática, por abstracta
que sea, que no se aplique algún
día a los fenómenos del mundo
real.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo
Galileo: La filosofía [natural] está escrita en ese
grandioso libro que tenemos abierto ante los
ojos, (quiero decir, el universo), pero no se pue-
de entender si antes no se aprende a entender
la lengua, a conocer los caracteres en los que
está escrito. Está escrito en lengua matemática
y sus caracteres son triángulos, círculos y otras
figuras geométricas, sin las cuales es imposible
entender ni una palabra; sin ellos es como girar
vanamente en un oscuro laberinto. (Il Saggia-
tore, 1623)
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo
Galileo: La filosofía [natural] está escrita en ese
grandioso libro que tenemos abierto ante los
ojos, (quiero decir, el universo), pero no se pue-
de entender si antes no se aprende a entender
la lengua, a conocer los caracteres en los que
está escrito. Está escrito en lengua matemática
y sus caracteres son triángulos, círculos y otras
figuras geométricas, sin las cuales es imposible
entender ni una palabra; sin ellos es como girar
vanamente en un oscuro laberinto. (Il Saggia-
tore, 1623)
Einstein: El que no posee el don de maravillarse
ni de entusiasmarse más le valdría estar muerto,
porque sus ojos están cerrados.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo
Galileo: La filosofía [natural] está escrita en ese
grandioso libro que tenemos abierto ante los
ojos, (quiero decir, el universo), pero no se pue-
de entender si antes no se aprende a entender
la lengua, a conocer los caracteres en los que
está escrito. Está escrito en lengua matemática
y sus caracteres son triángulos, círculos y otras
figuras geométricas, sin las cuales es imposible
entender ni una palabra; sin ellos es como girar
vanamente en un oscuro laberinto. (Il Saggia-
tore, 1623)
Einstein: El que no posee el don de maravillarse
ni de entusiasmarse más le valdría estar muerto,
porque sus ojos están cerrados.
Esta curiosidad por entender el mundo y su
lenguaje es lo que hace que muchos de no-
sotros estudiemos física y matemáticas.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
El misterio
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
El misterio
Einstein: En Geometría y Experiencia (1921)
Einstein comentó: “Es increible que la ma-
temática, habiendo sido creada por la men-
te humana, logre describir la naturaleza con
tanta precisión”.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
El misterio
Einstein: En Geometría y Experiencia (1921)
Einstein comentó: “Es increible que la ma-
temática, habiendo sido creada por la men-
te humana, logre describir la naturaleza con
tanta precisión”.
Wigner: En un artículo de 1960 titulado: Un-
reasonable Effectiveness of Mathematics in
the Natural Sciences, Wigner escribió: “El
milagro de la adecuación del lenguaje de las
matemáticas para la formulación de las leyes
de la física es un regalo maravilloso que ni
entendemos ni merecemos”.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
No debemos olvidar que ...
Riqueza de la Matemática = Problemas puros aplicados
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
No debemos olvidar que ...
Riqueza de la Matemática = Problemas puros aplicados
Hacer/estudiar Matemáticas, tanto útiles (Fourier) como inútiles
(Hardy) sin olvidar nunca el espíritu de Lobachevsky y Galileo.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
No debemos olvidar que ...
Riqueza de la Matemática = Problemas puros aplicados
Hacer/estudiar Matemáticas, tanto útiles (Fourier) como inútiles
(Hardy) sin olvidar nunca el espíritu de Lobachevsky y Galileo.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
No debemos olvidar que ...
Riqueza de la Matemática = Problemas puros aplicados
Hacer/estudiar Matemáticas, tanto útiles (Fourier) como inútiles
(Hardy) sin olvidar nunca el espíritu de Lobachevsky y Galileo.
Las Matemáticas, y en particular el análisis, son el verdadero
lenguaje de la naturaleza
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
EDOs lineales
La ecuación
d y (x)
dx
(1)
+ a(x)y (x) = b(x),
a(x), b(x) ∈ CI .
se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denomina
ecuación homogénea y si b(x) = 0, ecuación no homogénea.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
EDOs lineales
La ecuación
(1)
d y (x)
dx
+ a(x)y (x) = b(x),
a(x), b(x) ∈ CI .
se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denomina
ecuación homogénea y si b(x) = 0, ecuación no homogénea.Su
solución general se expresa por
y (x) = Ce− a(x) dx + e− a(x) dx
a(x) dx b(x) dx
e
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
EDOs lineales
La ecuación
(1)
d y (x)
dx
+ a(x)y (x) = b(x),
a(x), b(x) ∈ CI .
se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denomina
ecuación homogénea y si b(x) = 0, ecuación no homogénea.Su
solución general se expresa por
y (x) = Ce− a(x) dx + e− a(x) dx
a(x) dx b(x) dx
e
Para probarlo basta sustituir la función y (x) anterior en la EDO y
usar el Teorema fundamental del Cálculo.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
EDOs lineales
La ecuación
(1)
d y (x)
dx
+ a(x)y (x) = b(x),
a(x), b(x) ∈ CI .
se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denomina
ecuación homogénea y si b(x) = 0, ecuación no homogénea.Su
solución general se expresa por
y (x) = Ce− a(x) dx + e− a(x) dx
a(x) dx b(x) dx
e
Para probarlo basta sustituir la función y (x) anterior en la EDO y
usar el Teorema fundamental del Cálculo.
El PVI correspondiente a la ecuación (1) es el problema
d y (x)
dx
+ a(x)y (x) = b(x),
a(x), b(x) ∈ CI ,
y (x0) = y0.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
EDOs con Maxima
Para resolver EDOS analíticamente con Maxima usamos el
comando ode2 cuya sintaxis es
ode2(eqn, variable dependiente, variable independiente)
y que resuelve EDOs de primer y segundo orden.
Por ejemplo, resolvamos la EDO z = −z + x:
ode2(’diff(z,x)=x-z,z,x)$
Para resolver el PVI z = −z + x, y (0) = 1 hay que usar el
comando ic1 cuya sintaxis es
ic1(solución, valor de x, valor de y)
donde solución es la solución general que da el comando ode2 y
el valor de x y el valor de y, son los valores que toma la y
cuando x = x0, i.e., los valores iniciales. Así tenemos
expand(ic1(%,x=1,z=2));
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
EDOs con Maxima
Ejemplo: Encontrar la solución de la EDO lineal
+ x y = 2x.
y (x) = Ce− a(x) dx + e− a(x) dx
a(x) dx b(x) dx
e
d y
d x
Luego
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
EDOs con Maxima
Ejemplo: Encontrar la solución de la EDO lineal
+ x y = 2x.
y (x) = Ce− a(x) dx + e− a(x) dx
a(x) dx b(x) dx
e
d y
d x
Luego
y = Ce− x2
2
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