PDF de programación - Logica Difusa

Lógica Difusa

Una introducción práctica

Técnicas de Softcomputing

Carlos González Morcillo
[email protected]

Índice general

1. Introducción

1.1.1. Tratamiento de la Incertidumbre

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1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2. ¿Qué es la Lógica Difusa? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.1. Diferencias con Probabilidad . . . . . . . . . . . . .
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1.3. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Conjuntos Difusos y Variables Lingüísticas

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2.1. Conjuntos Difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1. Definición de conjunto difuso . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2. Operaciones de Conjuntos Difusos . . . . . . . . . 15
2.1.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4. Representación de conjuntos difusos . . . . . . . . 17
2.2. Variables Lingüísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1. Modificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Razonamiento Aproximado

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3.1. Razonamiento Aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1. Reglas Difusas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Inferencia Difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1. Inferencia de Mamdani
. . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2. Inferencia TSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1. Control del Péndulo Invertido . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2. Propina al mesonero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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ÍNDICE GENERAL

Capítulo1

Introducción

La Lógica Difusa proporciona un mecanismo de inferencia que permite
simular los procedimientos de razonamiento humano en sistemas basa-
dos en el conocimiento. La teoría de la lógica difusa proporciona un marco
matemático que permite modelar la incertidumbre de los procesos cogni-
tivos humanos de forma que pueda ser tratable por un computador. En
este primer capítulo se describirán los fundamentos y características de
este mecanismo de representación de la incertidumbre.

1.1.

Introducción

EL ser humano posee grandes habilidades para comunicar su ex-

periencia empleando reglas lingüísticas vagas. Por ejemplo, un
famoso cocinero de televisión podría dar instrucciones para tos-

tar pan como:

1. Cortar dos rebanadas de pan medianas.

2. Poner el horno a temperatura alta.

3. Tostar el pan hasta que quede de color ligeramente marrón.

El uso de esos términos lingüísticos en cursiva podrían ser segui-
dos sin problema por un humano, que es capaz de interpretar estas
instrucciones rápidamente. La lógica convencional no es adecuada pa-
ra procesar este tipo de reglas. Por ejemplo, si pasáramos un día con
Tiger Woods para aprender a jugar al golf, al final de la jornada po-
dríamos tener un montón de reglas del tipo:

Si la bola está lejos del hoyo y el green está ligeramente inclinado
hacia la derecha, entonces golpear la bola firmemente empleando
un ángulo ligeramente inclinado hacia la izquierda de la bandera.

Si la bola está muy cerca del hoyo y el green entre la bola y el hoyo
está plano, entoncces golpear la bola directamente hacia el hoyo.

Estas reglas son muy descriptivas y pueden ser fácilmente enten-
dibles por un humano, pero difícilmente representables en un idioma
que pueda ser entendido por un computador. Palabras como “lejos”,
“muy cerca” no tienen fronteras bien definidas, y cuando se quieren

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Figura 1.1: Conocimiento
experto en un dominio de
aplicación concreto.

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

trasladar a código pueden resultar descripciones artificiales. Por ejem-
plo, el término Distancia se podría codificar con este conjunto de in-
tervalos:

Cerca: La bola está entre 0 y 2 metros del hoyo.

Medio: La bola está entre 2 y 5 metros del hoyo.

Lejos: La bola está más allá de 5 metros del hoyo.

Con esta representación, ¿qué ocurre con una bola que está en
4.99 metros del hoyo? Empleando estos intervalos, el ordenador lo re-
presentaría firmemente en el intervalo “Medio”. Y si incrementamos
unos pocos centímetros, lo catalogaría como “Lejos”. Esto se puede
mejorar creando intervalos más pequeños, pero el problema base se-
guiría siendo el mismo por el uso de intervalos discretos. Comparado
con el modo de razonar de un humano, estos términos lingüísticos se
deben corresponder con fronteras vagas, donde 4.99 metros debería
estar más asociado al término “lejos” que “media distancia”.

Queda claro que el conocimiento experto presenta a menudo, ca-
racterísticas de vaguedad e imprecisión, debido a tres razones princi-
palmente:

1. Pereza: Obtener una lista completa de todas las variables que in-
tervienen en el dominio del problema puede ser demasiado traba-
jo. Además, como el mundo real es no determinista (aleatoriedad
y excepciones), hay veces que no es posible establecer completa-
mente todas las variables del entorno.

2. Ignorancia Teórica: En la que no existe una lista completa de
factores a tener en cuenta para el dominio del problema (no se
conoce un método teórico para modelar el problema).

3. Ignorancia Práctica: Incluso conociendo todas las variables, pue-
de ser difícil obtener datos concretos asociados para su estudio.
Además, esta información puede estar incompleta, e incluso ser
errónea (por ejemplo en el ámbito médico, llena de síntomas in-
correctos, mentiras deliberadas, falsos positivos...).

Esta incertidumbre en el modelado de conocimiento experto exis-
te en multitud de disciplinas (médicas, ciencias, ingeniería, derecho,
educación...). En Inteligencia Artificial se aplica en multitud de áreas
de trabajo, como visión por computador, procesamiento del lengua-
je natural, procesamiento de la información, aprendizaje automático,
juegos...

1.1.1. Tratamiento de la Incertidumbre

Existen multitud de enfoques para el tratamiento de la incertidum-
bre. Las primeras aproximaciones vienen de principios del siglo XIX,
con un tratamiento de la información puramente probabilista. Los pri-
meros sistemas expertos de inicio de los 70 modelaron el conocimiento
con un enfoque puramente lógico, con las limitaciones que conlleva es-
te tipo de enfoques. La siguiente generación de sistemas expertos em-
plearon técnicas probabilistas con resultados prometedores. El princi-
pal problema de esta aproximación fue el crecimiento exponencial de
las probabilidades necesarias para calcular la distribución conjunta
de probabilidad cuando el número de variables aumentaba. De esta
forma, surgieron otras aproximaciones entre las que cabe destacar:

1.2. ¿Qué es la Lógica Difusa?

[7]

Métodos No Numéricos

Existen algunas aproximaciones no numéricas que utilizan un ra-
zonamiento mucho más cercano al humano (cualitativo). Uno de los
métodos más ampliamente estudiados en esta categoría es el razona-
miento por defecto, que trata las conclusiones de los sistemas de
reglas como válidas hasta que se encuentre una razón mejor para creer
alguna otra cosa. Las redes cualitativas y los sistemas de manteni-
miento de coherencia son otros ejemplos de métodos no numéricos
para el tratamiento de la incertidumbre.

Métodos Numéricos

De entre los métodos numéricos, cabe destacar la familia de los mé-
todos probabilistas, que asocian un valor numérico (grado de creen-
cia) entre 0 y 1 para resumir la incertidumbre sobre las oraciones. Así,
una probabilidad de 0.8 sobre una oración no significa 80 % verdade-
ro, sino un 80 % de grado de creencia sobre la oración (las creencias
dependen de las percepciones recibidas por el agente inteligente hasta
el momento, que constituyen la evidencia sobre la que se hacen las
afirmaciones sobre probabilidades. Las probabilidades pueden cam-
biar cuando se adquieren más evidencias.

Existen varias familias de técnicas probabilistas entre las que dis-
tinguimos los métodos exactos (Redes bayesianas, Diagramas de in-
fluencia...) y los aproximados (Método Bayesiano subjetivo, Factores
de certeza...).

Existen otros métodos numéricos no probabilistas para el trata-
miento de la incertidumbre. La teoría de Dempster-Shafer que utili-
za grados de creencia dados por intervalos de valores para representar
el conocimiento. La lógica difusa es igualmente un método de razo-
namiento aproximado no probabilista, que puede definirse como una
extensión de la lógica multivaluada que facilita enormemente el mo-
delado de información cualitativa de forma aproximada. Su éxito se
debe principalmente a la posibilidad de resolver problemas de una
gran complejidad y poco definidos que, mediante métodos tradiciona-
les, son difíciles de solucionar.

1.2. ¿Qué es la Lógica Difusa?

Básicamente la Lógica Difusa es una lógica multivaluada que per-
mite representar matemáticamente la incertidumbre y la vaguedad,
proporcionando herramientas formales para su tratamiento.

Como indica Zadeh [3], “Cuando aumenta la complejidad, los enun-
ciados precisos pierden su significado y los enunciados útiles pierden
precisión.”, que puede resumirse como que “los árboles no te dejan ver
el bosque”.

Básicamente, cualquier problema del mundo puede resolverse co-
mo dado un conjunto de variables de entrada (espacio de entrada),
obtener un valor adecuado de variables de salida (espacio de salida).
La lógica difusa permite establecer este mapeo de una forma adecua-
da, atendiendo a criterios de significado (y no de precisión).

Le término Lógica Difusa fue utilizado por primera vez en 1974. Ac-
tualmente se utiliza en un amplio sentido, agrupando la teoría de con-
junto difusos, reglas si-entonces, aritmética difusa, cuantificadores,
etc. En este curso emplearemos este significado extenso el término.



Ejemplo Probabilidades



Al sacar una carta de la
baraja, el agente asigna 1/40
de sacar el as de copas.
Después de mirar la carta, la
probabilidad será de 0 o 1.



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