PDF de programación - Matrices con la calculadora gráfica TI 83

MATRICES



CON LA CALCULADORA GRÁFICA



TI 83

T3 España



Índice



1. MATRICES.
Objetivos



.


2. MATRICES EN LA TI83


3. GRAFOS Y MATRICES. POTENCIA DE UNA MATRIZ

Introducción de datos. Operaciones.



El problema de los puentes de Köningsberg


4. POTENCIA Y SUMA DE MATRICES

Estudio de las relaciones en grupos.


5. PRODUCTO DE MATRICES

Medicina. Contagio de enfermedades.


5. PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN VECTOR.

Evolución de poblaciones. Los grillos

Matrices de Leslie. Movimientos migratorios

Mamíferos



6. PRODUCTO DE MATRICES

Análisis de procesos de fabricación


7. MATRICES EN PROBABILIDAD. PREDICCIÓN



Cadenas de Markov i. El jugador audaz.

Cadenas de Markov II. Predicción.
Urbanismo. Predicción de movimientos ciudadanos.


8. INVERSA DE UNA MATRIZ. DETERMINANTE



Criptografía.



9. ÁLGEBRA LINEAL.



Resolución de sistemas de ecuaciones


10. OBTENCIÓN DE MATRICES EN CIERTAS CONDICIONES.

Movimientos en el plano


11. INVESTIGACIONES

Valores y vectores propios
Propiedades: conmutatividad y divisores de cero



12. LAS MATRICES EN MATEMÁTICAS

Las matrices en el currículo.

El papel de las calculadoras gráficas.
Algunos campos de aplicación de las matrices.



13. BIBLIOGRAFÍA:



Libros y artículos
Las matrices en Internet



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Matrices

1. MATRICES.
Objetivos


Las matrices son mucho más que una herramienta para el álgebra lineal.

Esa es la tesis que defiende este capítulo. Actualmente se considera que las
matrices constituyen un concepto útil para unificar una serie de técnicas y pro-
cedimientos de organización de datos y sirven para aplicar las matemáticas en
muchos contextos significativos para estas edades. Desde 1985, el Instituto
Freudenthal de Holanda ha realizado experiencias para su introducción en cur-
sos que aquí corresponderían a la Educación Secundaria Obligatoria y al Ba-
chillerato


La gran ventaja de las matrices es que resultan accesibles a la mayoría

de los estudiantes de secundaria, los conceptos implicados no son excesiva-
mente complejos frente a la gran cantidad de problemas que resuelven. Ade-
más, se pueden aplicar a la resolución de muchas situaciones de la vida real:
biología, sociología, psicología, geografía, antropología, meteorología, econo-
mía, biología, informática y computación y, cómo no, a las matemáticas. Se
aplican en todas las disciplinas tanto de las Ciencias Sociales como las Cien-
cias de la Naturaleza y también en las Artes. En todos estos campos es nece-
sario un trabajo previo de modelización de la situación real y la interpretación
de los resultados obtenidos. Este proceso abre el campo de las matemáticas


Algunos currículos de matemáticas en revisión han tomado el ejemplo

holandés y lo están desarrollando, es el caso de los Estándares Curriculares de
los Estados Unidos que han incluido en varios de sus Addenda Series la pre-
sentación de ejemplos que muestran cómo se puede llevar este cambio a las
clases con situaciones prácticas, algunas de ellas se presentan en este docu-
mento.


Las problemas propuestos parten de situaciones prácticas: análisis de
grupos en sociología, evolución de poblaciones en biología, la codificación y
descodificación de mensajes en criptografía, procesos de fabricación y comer-
cialización, y también de otras partes de las matemáticas: probabilidad, geome-
tría, teoría de grafos, álgebra lineal.


Estas situaciones-problema son las que sirven para la presentación de
los conceptos. El trabajo de los estudiantes ya no será el de realizar las tedio-
sas operaciones para multiplicar las matrices, una vez liberados de él, los estu-
diantes han de desentrañar las matemáticas que subyacen a los problemas
planteados, darles solución y, lo que es más importante, integrar y relacionar
conocimientos matemáticos que provienen de distintos campos de las matemá-
ticas: álgebra, geometría, etc. pero esto no es más que lo que ocurre en la ma-
yoría de los problemas reales.


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Matrices

2. MATRICES EN LA TI83
Introducción de datos. Operaciones.


La introducción de datos en la calculadora
TI83 se realiza a través de , opción EDIT.
En este menú llamamos a una de las seis matri-
ces que podemos definir mediante el número del
À al Ê o con las flechas }, † y Í o pul-
sando directamente el número.



Una vez estamos en la edición de la ma-
triz, primero introducimos las dimensiones (filas
x columnas) con Í después de cada valor.
Igualmente escribimos cada uno de los elemen-
tos de la matriz escribiendo las filas completas.

Durante este proceso podemos movernos de unos valores a otros con |

} † ~. Cuando acabemos, es necesario salir con y QUIT para volver a la
pantalla de cálculos y resultados. Si no lo hacemos, la calculadora entenderá
que queremos hacer operaciones en el último valor que hemos introducido en
la matriz


Para mostrar en la pantalla la matriz que

hemos introducido, escribimos  NAMES,
À: [A].

Podemos calcular el cuadrado de la ma-

triz con [A] ¡.



[A]

[A]^3



También calculamos el cubo: [A] › Â, la

inversa con [A] —, o la opuesta con Ì [A].



Introducimos una segunda matriz [B].



Calculamos ahora [A]+[B], [A]-[B], [A]*[B]:



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Matrices



Para almacenar el resultado de una operación en otra matriz, escribimos
[A]+[B] ¿ [C], si lo deseamos y las dimensiones de las matrices lo admiten,
podemos almacenarlo en una de las que se han operado [A]+[B] ¿ [B], esto
nos permite seguir realizando cálculos cuando lo que queremos es realizar el
producto [A]n * [B]



Si hacemos [A] — — ¿ [A], si pulsa-
mos dos veces, es decir, realizamos la inversa
de la inversa, vemos que nos sale la misma ma-
triz.



Para más información, ver el capítulo 10 del manual de la calculadora.



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Matrices

C

A

D

B



3. GRAFOS Y MATRICES
Potencia de una matriz


Un problema como el de los
Puentes de Königsberg, además de
marcar en su momento el inicio de la
teoría de grafos, puede servir en la
actualidad para introducir a los estu-
diantes en el estudio de matrices y
en la operación potencia -producto-,
de matrices. El planteamiento histó-
rico del problema consiste en el in-
tento de realizar un recorrido por
todos los puentes que unen las dos
orillas y las islas de la ciudad, con la
condición de pasar una única vez
por cada puente.


El plano de la zona puede ser sustituido
por un diagrama o grafo que extraiga lo "esen-
cial" del problema: dos regiones conectadas
por un puente se representan por una línea
que las une. De esta forma, como hay dos
puentes que unen la isla A con la región C,
dibujamos dos líneas de unión entre ellas, de
la misma forma, sólo hay una línea entre C y D o ninguna entre B y C.


sacada de la revista anual de la Academia de San Petersburgo, se puede se-
guir en Newman (1969. Vol 4. pp 164-171). En matemática podemos entrar en
nuevos derroteros si codificamos las líneas del
grafo por números dispuestos en forma de ma-
triz. El número 2 -fila 3, columna 1-, indica que
hay dos formas de pasar de la región A a la C.


una matriz y al producto de matrices: al multiplicar la fila 2 por la columna 3
(2x2+0x0+0x0+1x1 = 5) obtenemos el
elemento a23 de M2,número que tiene un signi-
ficado dentro del problema que tratamos: "la
cantidad de recorridos entre B y C pasando
por dos puentes". De la misma forma estudia-
mos el cubo o la cuarta potencia de la matriz.



De aquí podemos pasar al cuadrado de

La resolución del problema -la ausencia de solución-, por el mismo Euler

Aquí tenemos otros diagramas :



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Matrices





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Matrices


Es La

matriz asociada
en la que el 1 que aparece en la fila 3, columna
2 quiere decir que Silvia (col. 2) ejerce influen-
cia sobre Luis (fila 3)

4. POTENCIA Y SUMA DE MATRICES
Estudio de las relaciones en grupos.


Podemos utilizar las matrices para anali-
zar las relaciones dentro de un grupo. En este
diagrama establecemos con una flecha la in-
fluencia que ejerce una persona sobre otra en
un grupo de cinco: Ramón, Silvia, Luis, Alicia y
Vicente.


R S L A V



R
S
L
A
V

El cálculo del cuadrado de la matriz A tiene el

significado que podemos ver en el diagrama de la
derecha, la cantidad de influencias que ejerce cada
uno de ellos hacia los demás, pero por medio de otra
persona, es decir, serían influencias de segundo or-
den, es decir, han de realizarse por medio de otra
persona.



R S L A V



R
S
L
A
V

El 2 que apa-

rece en la fila 3, columna 5 son las dos relacio-
nes de dominio que ejerce Vicente sobre Luis,
una por medio de Alicia y otra con Silvia como
intermediaria.


A0 sería la matriz unidad, cada uno de ellos ejerce control sobre sí mis-

mo, mientras A3 reflejará el número de relaciones de dominio entre cada pareja
del grupo con dos personas por medio. Sumamos ahora estas tres matrices.
Después sumamos los números de cada columna y tenemos la cantidad de
relaciones de dominio que un individuo ejerce sobre los demás, mientras que
por filas tenemos las que ejercen sobre él.


De esta forma nos encontramos que Ramón parece ser el líder ya que

ejerce 15 relaciones de dominio, dos más
que Vicente. Lo que ocurre es que si rea-
lizamos las sumas por filas, -los resulta-

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7 R
8 S
19 L
9 A
5 V

Matrices

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R S