PDF de programación - Análisis espectral mediante el uso de la FFT

Análisis espectral mediante el uso de la FFT

Mario Estévez Báez1
Andrés Machado García2
José M. Estévez Carrera3

Material publicado originalmente en formato html en:
librosabiertos:analisis_espectral_mediante_el_uso_de_la_fft. InfoWiki. January 8, 2008, 09:08 CST.
Available at:
http://infomed20.sld.cu/wiki/doku.php?id=librosabiertos:analisis_espectral_mediante_el_uso_de_la_fft&rev=1199801296.
Accessed January 8, 2008


Introducción

El análisis espectral constituye un método de análisis poderoso para poner en
evidencia periodicidades ocultas en una serie temporal, tal como lo es, por
ejemplo, el electroencefalograma. El espectro de potencia refleja la energía de
cada uno de los componentes de frecuencia del proceso estudiado. Permite
distinguir los componentes espectrales y cuantificarlos. Este método de análisis en
Neurofisiología Clínica, cuenta ya con más de 60 años de aplicación, existiendo
equipos comerciales que permiten su empleo para el estudio de la actividad
bioeléctrica del cerebro. Éste método de análisis es conocido y se maneja de
forma diaria por el especialista promedio.
En el caso del electroencefalograma, el espectro de interés se encuentra entre 0.5
y 50 hertzios, mientras que para aquellas aplicaciones que muestren las
fluctuaciones de variables como el neumograma, la presión arterial y el ritmo
cardíaco, por poner solo algunos ejemplos, se requiere analizar frecuencias
menores de 0.5 hertzios. Teniendo ello en cuenta, resulta conveniente revisar
algunos aspectos básicos del método en cuestión, y en donde sea necesario se
realizarán referencias específicas, vinculadas con el estudio de tales frecuencias,
que por su carácter han sido denominadas extra-lentas y que están vinculadas con
manifestaciones de fenómenos vitales del organismo del hombre y los animales
(Estévez Báez M.., 1982).


1 Doctor en Medicina, Especialista de Fisiología de Segundo Grado, Investigador Titular, Profesor
Consultante, Doctor en Ciencias Médicas, Académico Titular AIA, Instituto de Endocrinología y
Enfermedades Metabólicas MINSAP.
2 Licenciado en Cibernética-Matemática, Profesor Auxiliar, Maestro en Ciencias de la Computación
Facultad de Biología, Universidad de La Habana, MES.
3 Licenciado en Informática, Instituto Superior de Medicina Militar “Dr. Luis Díaz Soto”

Series discretas de Fourier

La secuencia temporal x(n), que es periódica, con período “T”, puede ser
representada, como hemos visto en otro acápite anterior, por la siguiente
expresión:


nx
)(

=

nx
(

+

rT

,)



donde "r" es un valor entero cualquiera. Esta secuencia puede ser representada
por una serie de Fourier, que corresponda a una suma de secuencias
exponenciales complejas relacionadas, con frecuencias que sean múltiplos de la
frecuencia fundamental (2π/T), asociada con la secuencia periódica x(n). Las
exponenciales periódicas complejas son de la siguiente forma:


2( π

T

)

kn

ie



Donde "i" es la unidad imaginaria y "k" es un número entero. La representación de
la serie de Fourier de la secuencia temporal x(n) toma la siguiente forma:


a
)(

nx
)(

=

1
T

T

−

1

∑

=

0

k

iekx
)(

2(

π

knT

)

.



En esta expresión, queda bien definido que se trata de una secuencia de una
señal de valores discretos y que por lo tanto, requiere solamente de “T”
exponenciales complejas relacionadas.



Los coeficientes de la serie discreta de Fourier, pueden ser obtenidos de la
secuencia temporal x(n), por la relación que se muestra en la siguiente expresión:


b
)(

kx
)(

=

T

−

1

∑

=

0

n

ienx
)(
−

2(

π

knT

)

;



En esta expresión se puede generalizar que


kx
)(

=

Tx
(

+

k

,)

para cualquier entero “k”.


Las expresiones "a" y "b" constituyen una pareja (par) de análisis-síntesis,
conociéndose como las expresiones de las Series Discretas de Fourier, para la
representación de una secuencia periódica. Si se sustituye, para facilitar la
notación, al término exponencial complejo de la siguiente manera:


eW

2(
π−=

i

T

)

T

,




entonces, el par de ecuaciones de la Transformada de Fourier, para una
secuencia temporal discreta, se puede escribir así:


síntesis

:

nx
)(

=

1
T



análisis

:

kx
)(

=

T

−

1

∑

=

0

k

T

−

1

∑

=

0

n

TWkx
)(

−

kn

;



TWnx
)(

kn

;



temporales de

tiempo discreto, en


En la anterior exposición, se ha empleado la representación de las Series de
Fourier, para secuencias
forma de
exponenciales complejas. Esta forma de representación resulta útil, pero implica
recordar correctamente, algunas de las propiedades de los números complejos y
de las operaciones que pueden ser realizados con los mismos. A modo de
recordatorio, en los próximos acápites marcar se expondrán en forma resumida,
algunos de estos elementos.


Transformada rápida de Fourier

Retomando la expresión que presenta el acápite “Series discretas de Fourier”,
para el cálculo de una serie temporal periódica de tiempo finito:


kX
)(

=

T

−

1

∑

=

0

n

ienX
−

)(

/2(
π

knT

)



que se puede simplificar como fue descrito anteriormente de la siguiente manera:


kX
)(

=

T

−

1

∑

=

0

n

TWnX

)(

kn

;



y tomando en cuenta que la serie temporal tiene que ser compleja, entonces para
calcular los diferentes valores, será necesario realizar operaciones con números
complejos, que implicarán multiplicaciones, sustracciones y adiciones.

Si descomponemos en partes real (real) e imaginaria (im) la expresión anterior,
tendríamos:


kX
)(

T

−

1

=∑

n

=

0

[(

real

(

imnX

),

(

Xn

()

WimWreal
kn
T

kn
T

,

)]



para

k

=

,1,0

...

,

T

−

;1

Desarrollando de modo genérico el producto de números complejos que se
muestra, se puede ver que su cálculo sería:


[(
[(

real
real

nX
Wreal
kn
)(
T
WimnX
)(
)
kn
T

∗
∗

)
+

)(
∗

WimnXim
kn
(
−
∗
T
Wreal
nXim
(
)(
kn
T


)]
+
;)]



inicial aproximado, permite decir que serían necesarias 4T2
Un cálculo
multiplicaciones de números reales y de T(4T – 2) sumas de reales. La cantidad
de cálculos, y por ende del tiempo de cálculo, es aproximadamente proporcional al
cuadrado de T, lo que representa un obstáculo serio, aún para las computadoras
actuales. Está documentado, que ya en 1805, C.F. Gauss se había ocupado en
buscar la manera de reducir el número de cálculos a realizar, aprovechando
kn . C. Runge (1905) y posteriormente
diferentes propiedades de la secuencia WT
Danielson y Lanczos (1942) describieron algoritmos que lograban que el tiempo de
cálculo fuese proporcional a TlogT (Oppenheim A.V. y Shafer R.W., 1989).

A partir de los trabajos de J.W. Cooley y J.W. Tukey (1965), se hizo posible el
desarrollo de algoritmos cada vez más eficientes para estos cálculos y que desde
entonces han sido denominados como “algoritmos de la transformada rápida de
Fourier” (FFT en lengua inglesa).

Hemos empleado numerosos de estos algoritmos, y actualmente utilizamos un
“fabuloso” método descrito por Don Cross (2000), que más adelante será
analizado.

Resolución y “aliasing”

La resolución del procedimiento del análisis espectral de una muestra finita (N) de
valores de una secuencia temporal dada, se define por la siguiente expresión:



Rs

=



N

1
Pm
∗


donde Rs_resolución y Pm_ período de muestreo.

El período de muestreo de una señal va a determinar un valor que fue objeto de
estudio por H. Nyquist (1928) y casi de modo simultáneo por el Académico
Kotelnikov en la antigua URSS, que ha sido por ello llamado como frecuencia de
Nyquist o frecuencia de Kotelnikov y que constituye la máxima frecuencia que
puede ser detectable en el proceso de análisis. Si se denomina este valor como
Fc, entonces el mismo queda definido mediante la expresión:


Fc

=

1
Pm
∗



2


th
)(

= ∑∞
Pm

n

∞−=

nh
)(

{

sen

[
tFc
(
2
−
π
nPm
t
(
−
π

nPm
)

]

)

} ;



El teorema del muestreo, enunciado por ambos investigadores plantea que una
función temporal h(t), muestreada con un período Pm, está limitada a un ancho
de banda para las frecuencias mayores que Fc, o sea, si h(f) = 0 para todas las
frecuencias mayores que Fc, entonces la función h(t) estará determinada
completamente por sus muestras. De forma explícita, la función h(t) se representa
por la expresión:



Si la función h(t) no está limitada en ancho de banda para los valores menores
que la frecuencia de Nyquist (Fc), la densidad espectral de potencia espectral
fuera del rango que va de - ∞ a - Fc y de Fc a ∞ , se desplaza al intervalo
entre – Fc y Fc, distorsionando los resultados. A este fenómeno se le denomina
en lengua inglesa “aliasing”.

El problema del aliasing es una consecuencia del uso de circuitos electrónicos,
para el caso de que se
trate de señales continuas que muestran el
comportamiento de una señal que se produce de manera continua, y de la
introducción del proceso de digitalización de las señales, o sea, discretización de
valores de una señal continua en el tiempo. El primero de los casos no es objeto
de análisis en esta parte del trabajo, pero sí lo será el segundo caso, por tratarse
de la circunstancia con la cual se enfrenta el especialista que estudia la VRC en su
trabajo cotidiano.

Una secuencia de valores discretos de una serie temporal, es de hecho, una serie
sometida a discretización, y queremos en la mayoría de los casos, tratar de inferir
las propiedades de la señal original (continua), a partir de la