PDF de programación - Análisis numérico, 2da Edición

ANÁLISIS
NUMÉRICO

SEGUNDA EDICIÓN

\Y

TIMOTHY SAUER

A L W A Y S L E A R N I N G

/

PEARSON

Análisis numérico

Análisis numérico

S E G U N O A E D I C I Ó N

Timothy Sauer
George Masón University

TRADUCCIÓN
Jesús Elmer Murríeta Murrieta
Maestro en Investigación de operaciones
ÍTESM, Campus Morelos

Re v isió n t é c n ic a
Salvador Garda Burgos
Departamento de Ciencias Básicas
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional Autónoma de México
José Job Flores Godoy
Departamento de Física y Matemáticas
Universidad Iberoamericana

PEARSON

Dulas d e catalogación bibliográfica

SAUER, TIMOTHY
Análisis numérica Segunda edición.

PEARSON EDUCACIÓN. México. 2013

ISBN 978-607-32-2059-0
Área: Matemáticas

Formato: 20 x 25,5 cm

ftíginas: 664

Authorized translation from thc English language edition, cntitlcd NUMERICAL ANAI.YSIS, 2nd. Edition, by TIMOTHY SAUER,
published by Pearson Education, Inc., publishingas Pearson. Copyright© 2012. AH rights reserved.
ISBN 9780321783677

Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada NUMERICAL ANALYSIS. 2a. edición, por TIMOTHY SAUER. publicada
por Pearson Education, Inc., publicada como Pearson, Copyright © 2012. Todos los derechos reservados.

Esta edición en español es la única autorizada.

Edición en español
Dirección General:
Dilección Educación Superior
Editora Sponsor:

Editor de Desarrollo:
Supervisor de Producción:
Gerencia Editorial
Educación Superior Latinoamérica

SEGUNDA EDICIÓN. 2013

Philip De la Vega
Mario Contreras
Gabriela López Ballesteros
e-mail: [email protected]
Bemanlino Gutiérrez Hernández
José D. Hernández Garduño

Marisa de Anta

D.R. ©2013 por Ftarson Educación de México. S.A. de C.V.

Atlacomulco 500-5o. piso
Col. Industrial Atoto
53519. Naucalpan de Juárez. Estado de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Rcg. núm. 1031.

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o electroóptico. por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus
representantes.

ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-2059-0
ISBN VERSIÓN E-BOOK: 978-607-32-2060-6
ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-2061-3

Impreso en México. Printed in México.
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PEARSON

Contenido

PREFACIO
CAPÍTULO 0 Fundamentos
Evaluación de un polinomio

0.1
0.2 Números binarios

0.2.1 Decimal a binario
0.2.2 De binario a decimal

0.3 Representación del punto flotante de los números reales

0.3.1
Formatos de punto flotante
0.32 Representación en máquina
0.3.3 Suma de números de punto flotante

0.4 Pérdida de significancia
0.5 Repaso de cálculo

Software y lecturas adicionales

CAPÍTULO 1 Resolución de ecuaciones

1.1

El método de bisección
1.1.1 Confinamiento de una raíz
1.12

¿Qué tan exacto y a qué velocidad?

1.2 Iteración de punto fijo

1.2.1 Puntos fijos de una función
1.22 Geometría de la iteración de punto fijo
1.23 Convergencia lineal de la iteración de punto fijo
1.2.4 Criterios de detención
Límites de exactitud
1.3.1 Error hacia adelante y hacia atrás
1.3.2 El polinomio de Wilkinson
1.33 Sensibilidad de la localización de raíces

1.4.1 Convergencia cuadrática del método de Newton
1.42 Convergencia lineal del método de Newton
Localización de raíces sin derivadas
1.5.1 Método de la secante y sus variantes
1.52 Método de Brent

1.3

1.5

1.4 Método de Newton

Comprobación en la realidad 1: Cinemática de la plataforma Stewart

Software y lecturas adicionales

CAPÍTULO 2 Sistemas de ecuaciones

2.1

Eliminación gaussiana
2.1.1 Eliminación gaussiana simple
2.1.2 Conteo de operaciones

xüi
1
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69

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vi | Contenido

2.2

2.3

2.4

La factorización LU
2.21
Forma matricial de la eliminación gaussiana
2.2.2 Sustitución hacia atrás con la factorización LU
2.23 Complejidad de la factorización LU
Fuentes de error
2.3.1
2.3.2 Dominancia
La factorización PA = LU
2.4.1
Pivoteo parcial
2.4.2 Matrices de permutación
2.4.3

Error de magnificación y nú mero de condición

Factorización PA = LU

Comprobación en la realidad 2 : La viga de Euler-Bernoulli
2.5 Métodos iterativos

2.5.1 Método de Jacob)
2.5.2 Método de Gauss-Seidel y SRS
2.5.3 Convergencia de los métodos iterativos
2.5.4 Cálculos de matrices dispersas

2.6 Métodos para matrices simétricas definidas positivas

Factorización de Cholesky

2.61 Matrices simétricas definidas positivas
2.62
2.63 Método del gradiente conjugado
2.64 Precondicionamiento

2.7 Sistemas de ecuaciones no lineales

2.7.1 Método de Newton muItivariado
2.7.2 Método de Broyden
Software y lecturas adicionales

CAPÍTULO 3

Interpolación

3.1 Datos y funciones de interpolación
Interpolación de Lagrange

3.1.1
3.1.2 Diferencias divididas de Newton
3.1.3 ¿Cuántos polinomios de grado d pasan por n puntos?
3.1.4 Código para la interpolación
3.1.5 Representación de funciones mediante

polinomios de aproximación

3.2 Error de interpolación

3.3

Fenómeno de Runge

Fórmula del error en la interpolación

3.2.1
3.2.2 Demostración de la forma de Newton y la fórmula del error
3.2.3
Interpolación de Chebyshev
3.3.1
3.3.2
3.3.3 Cambio de intervalo

Teorema de Chebyshev
Polinomios de Chebyshev

3.4 Splines cúbicas

Propiedades de las splines

3.4.1
3.4.2 Condiciones de extremo

3.5 Curvas de Bézier
Comprobación en la realidad 3: Fuentes a partir de las curvas de Bézier

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Contenido | vil

CAPÍTULO 4 Mínimos cuadrados

4.1 Mínimos cuadrados y ecuaciones normales

4.2

4.3

4.1.1 Sistemas de ecuaciones inconsistentes
4.1.2 Modelos de ajuste a los datos
4.13 Condicionamiento de mínimos cuadrados
Exploración de modelos
4.2.1 Datos periódicos
4.23 ünealización de datos
Factorización QR
4.3.1 Ortogonalización de Gram-Schmidt y mínimos cuadrados
4.33 Ortogonalización de Gram-Schmidt modificado
4.33 Reflectores de Householder

4.4 Método del residuo mínimo generalizado (GMRES)

4.4.1 Métodos de Krylov
4.4.2 GMRES precondicionado

4.5 Mínimos cuadrados no lineales

4.5.1 Método de Gauss-Newton
4.53 Modelos con parámetros no lineales
4.53 Método de Levenberg-Marquardt

Comprobación en la realidad 4: GPS, condicionamiento y mínimos cuadrados

no lineales

Software y lecturas adicionales

CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración

numérica
5.1 Diferenciación numérica

Fórmulas de las diferencias finitas

5.1.1
5.1.2 Error de redondeo
5.1.3 Extrapolación
5.1.4 Diferenciación e integración simbólica

5.2 Fórmulas de Newton-Cotes para la integración numérica

5.2.1 Regla del trapecio
5.23 Regla de Simpson
5.2.3 Fórmulas de Newton-Cotes compuestas
5.2.4 Métodos de Newton-Cotes abiertos
5.3
Integración de Romberg
5.4 Cuadratura adaptativa
5.5 Cuadratura gaussíana
Comprobación en la realidad 5: Control de movimiento en el modelado

asistido por computadora
Software y lecturas adicionales

CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferencíales ordinarias

6.1

Problemas de valor Inicial
6.1.1 Método de Euler
6.13 Existencia, unicidad y continuidad de las soluciones
6.1.3 Ecuaciones lineales de primer orden

6.2 Análisis del error en la solución de PVI

6.2.1 Error de truncamiento local y total

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193
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203
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280

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283
287
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293
293

viii | Contenido

6.3

6.2.2 Método explícito del trapecio
6.2.3 Métodos de Taylor
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
6.3.1
6.3.2 Simulación en computadora: el péndulo
6.3.3 Simulación en computadora: la mecánica orbital

Ecuaciones de orden superior

6.4 Métodos y aplicaciones de Runge-Kutta

La familia Runge-Kutta

6.4.1
6.4.2 Simulación en computadora* la neurona de Hodgkin-Huxley
6.4.3 Simulación en computadora: las ecuaciones de Lorenz

Comprobación en la realidad 6: El puente Tacoma Narrows
6.5 Métodos con tamaño de paso variable

6.5.1
Pares integrados de Runge-Kutta
6.5.2 Métodos de cuarto y quinto orden

6.6 Métodos implícitos y ecuaciones rígidas
6.7 Métodos de varios pasos

6.7.1 Generación de métodos de varios pasos
6.7.2 Métodos de varios pasos explícitos
6.7.3 Métodos de varios pasos implícitos
Software y lecturas adicionales

CAPÍTULO 7 Problemas de valor de frontera

7.1 Método de disparo

7.1.1
7.1.2

Soluciones a problemas de valor de frontera
Implementación del método de disparo

Comprobación en la realidad 7: Deformación de un anillo circular
7.2 Métodos de diferencias finitas

7.2.1
7.2.2

Problemas de valor de frontera lineales
Problemas de valor de frontera no lineales

7.3 Colocación y el método del elemento finito

7.3.1 Colocación
7.3.2
Software y lecturas adicionales

Elementos finitos y el método de Galerkin

CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

8.1

Ecuaciones parabólicas
8.1.1 Método de las diferencias hacia adelante
8.1.2 Análisis de estabilidad del método de las diferencias

hacia adelante

8.1.3 Método de la diferencia hacia atrás
8.1.4 Método de Crank-Nicolson
Ecuaciones hiperbólicas
8.2.1
8.2.2
Ecuaciones elípticas
8.3.1 Método de las diferencias finitas para ecuaciones elípticas

La ecuación de onda
La condici