PDF de programación - Tema 1 Introducción a la física computacional

Tema 1

Introducción a la física computacional

Bienvenidos a la asignatura de Física Computacional I. La asignatura de Física
Computacional se ha añadido recientemente al temario de los estudios de Ciencias
Físicas. En esta asignatura aprenderemos a usar diversas herramientas computacio-
nales que nos serán útiles en el futuro, sea cual sea la actividad que realicemos como
físicos.

El objetivo de esta asignatura es aprender a manejar herramientas computaciona-
les básicas, tanto de cálculo simbólico como de cálculo numérico. En la primera mitad
del curso veremos, como ejemplo representativo de programa de cálculo simbólico,
una introducción al programa gratuito de código abierto MAXIMA1 y en la segunda par-
te, como ejemplo de lenguaje de programación útil para cálculo numérico, veremos
una introducción al lenguaje C2. En la elección de estos lenguajes informáticos nos
hemos limitado a aquellos programas gratuitos de libre acceso, que al mismo tiempo
sean suficientemente representativos como herramientas de cálculo simbólico, en un
caso, y como lenguaje de programación en el otro. De todas formas, en el caso del
lenguaje C éste se ha convertido en el lenguaje de programación estándar, de mo-
do que más que un ejemplo representativo se trata del lenguaje de programación por
excelencia. En el caso del MAXIMA existen alternativas comerciales más potentes (co-
mo p. ej. el MAPLE o el MATHEMATICA) cuyo uso está más extendido, sin embargo,
para este curso hemos optado por el paquete de cálculo simbólico gratuito de código
abierto. En este sentido el principal objetivo es aprender a organizar el trabajo de una
manera ordenada y eficiente, lo que nos resultará útil en el futuro independientemente
de cuál sea el programa de cálculo simbólico que empleemos.

1.1. Matemáticas en Física

Como todos sabemos, la Física es la ciencia que estudia las leyes que gobiernan
el comportamiento de todo cuanto se conoce (materia, energía, espacio, tiempo, . . . ).
Aunque realmente nadie sabe por qué es así, lo cierto es que, cuando se analizan
cuidadosamente, los sistemas físicos parecen estar regidos por una serie de leyes
físicas, dadas por unas ecuaciones matemáticas más o menos sencillas de formular y
de entender, y cuya resolución es, con frecuencia, difícil. Aunque la apreciación sobre
la sencillez de las leyes físicas es algo subjetiva, el cumplimiento de dichas leyes

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TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA COMPUTACIONAL

no lo es. Con mucha frecuencia las leyes de la física toman la forma de ecuaciones
diferenciales, o bien ordinarias para magnitudes dependientes sólo del tiempo, o bien
en derivadas parciales para magnitudes dependientes del espacio y el tiempo, es decir,
para magnitudes descritas por medio de campos. Por este motivo el trabajo del físico
siempre está ligado a la manipulación de objetos matemáticos (vectores, matrices,
funciones, ecuaciones, . . . ) y a la realización de cálculos.

Aparte de proporcionar cierto grado de conocimiento sobre cómo funciona el uni-
verso en general, el conocimiento de las leyes que rigen el funcionamiento de los
sistemas físicos nos permite realizar predicciones cuantitativas muy precisas sobre
cuál será el estado de un sistema dentro de un tiempo a partir del conocimiento de su
estado actual y de las interacciones a las que está sujeto. Para realizar estas predic-
ciones normalmente es necesario realizar ciertos cálculos numéricos (normalmente
un número muy elevado de ellos), en los que los ordenadores se han convertido en la
herramienta fundamental desde finales del siglo XX.

El hecho constatado de que las leyes de la física tengan forma matemática hace
que las matemáticas en física, y en general en las Ciencias Naturales, sean mucho
más que una mera herramienta. Si el objetivo de la física es describir las leyes que
rigen el funcionamiento de todo cuanto se conoce, el conocimiento del lenguaje en
el que, aparentemente, están codificadas estas leyes es una parte fundamental de la
física, motivo por el cual los temarios de la carrera de Ciencias Físicas son bastan-
te generosos en asignaturas de Matemáticas en todas las universidades del mundo.
La enorme relevancia de las matemáticas en las ciencias físicas se analiza con ma-
yor profundidad en el famoso ensayo de Eugene P. Wigner (premio Nobel de física
en 1963): “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”,
Communications in Pure and Applied Mathematics 13 (1960).

1.1.1. Echemos un vistazo rápido a las Matemáticas que estudia-

remos en Físicas

El tipo de objetos matemáticos que maneja normalmente un físico es lo que de-
termina el temario de matemáticas que se estudian en Físicas. En este sentido, y
resumiendo mucho, se podría decir que las matemáticas que se estudian en Físicas
están orientadas al objetivo de saber resolver ecuaciones diferenciales, tanto ordina-
rias como en derivadas parciales. El motivo es que, en general, las leyes físicas son
ecuaciones diferenciales que expresan cómo cambian con el tiempo las magnitudes
físicas que describen un sistema concreto. Esto no es tan sorprendente si tenemos
en cuenta que, en general, cualquier ley física que exprese un principio de conser-
vación (p. ej. de la energía o del momento lineal) para una magnitud descriptible por
medio de un campo (una función del espacio y del tiempo) llevará a una relación que
deben cumplir las derivadas de esa función respecto de sus variables, es decir, a una
ecuación diferencial en derivadas parciales, o a una ecuación diferencial ordinaria si
la función considerada sólo es función del tiempo.

Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) son fundamentales en
la mecánica de Newton, donde para realizar predicciones debemos resolver la segun-
da ley de Newton, que es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden (ya que
las derivadas de mayor orden que incluye son de orden 2)

F = m

d2r
dt2

(1.1)

1.1. MATEMÁTICAS EN FÍSICA

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cuya solución queda determinada de manera única cuando se conocen las dos condi-
ciones iniciales dadas para la velocidad y la posición inicial del móvil

dr

dt



t=0

= v0,

r(t = 0) = r0

(1.2)

Una situación similar se da en el caso de todos los modelos simplificados que se
emplean con frecuencia en diversos campos para describir determinados procesos por
medio de sistemas dinámicos, cuya evolución temporal está determinada por EDOs
del tipo

dxi
dt

= fi(x1, x2, . . . , xn, t),

xi(t = 0) = xi,0,

i = 1, 2, . . . , n

(1.3)

Las EDOs con “condiciones iniciales” (como los ejemplos anteriores) no son las únicas
importantes, también son fundamentales las EDOs con “condiciones de contorno”, que
aparecen, por ejemplo, al resolver una ecuación diferencial en derivadas parciales por
medio del método de separación de variables, que ya se estudiará en su momento.

Cuando se manejan magnitudes físicas que no son sólo funciones del tiempo, lo
más habitual es que las leyes físicas sean ecuaciones diferenciales en derivadas par-
ciales. Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDPs) se han convertido
en el lenguaje básico de la física desde el momento en que aparece el concepto de
“campo” como herramienta matemática apropiada para la descripción de diversas va-
riables físicas cuyo valor es función del espacio y el tiempo (como p. ej. la temperatura
o la velocidad de un fluido, o la intensidad de un campo magnético en una región
en la que hay cargas en movimiento), o para la descripción de interacciones que se
transmiten a distancia, como p. ej. las interacciones electromagnéticas o la interacción
gravitatoria (de hecho, el concepto de campo está ya implícito en la ley de gravitación
universal de Newton).

Esta situación se cumple en todas las escalas de la física, desde la escala cós-
mica (descrita por las ecuaciones del campo gravitatorio de la Relatividad General de
Einstein) hasta la escala microscópica (descrita por las ecuaciones de la Mecánica
Cuántica: Schrödinger, Klein-Gordon, Dirac, . . . ), pasando por la escala macroscópica
en la que nos movemos nosotros, es decir, la escala que incluye longitudes caracterís-
ticas que van desde (pongamos) los milímetros a (pongamos) los kilómetros, descrita
por ecuaciones como las de Navier-Stokes para los fluidos. En todas estas escalas las
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales son también el lenguaje fundamen-
tal que permite describir las fuerzas electromagnéticas (por medio de las ecuaciones
de Maxwell). Aparte de esto las EDPs son también la herramienta fundamental para
modelizar fenómenos sencillos que dependen de más de una variable (ecuación de on-
das, ecuación de Laplace, ecuación de la difusión, . . . ), y también son importantes en
disciplinas nuevas de la física, como p. ej. el análisis de imágenes digitales (tan impor-
tante en teledetección y en medicina), donde frecuentemente se integra una ecuación
de difusión para suavizar una imagen, o se plantea una EDP (la ecuación del flujo
óptico) para determinar el movimiento de los patrones detectados en una secuencia
de imágenes. En el transcurso de la carrera de Ciencias Físicas uno irá descubriendo
poco a poco muchas de estas leyes físicas (algunas de ellas pertenecen a temas más
o menos avanzados, que sólo se estudian en programas de doctorado), su formulación
matemática precisa, las ecuaciones que las describen y cómo se resuelven.

El otro factor que determina las matemáticas que debe conocer un físico es la natu-
raleza de los objetos matemáticos a los que se aplican las leyes de la física. Tal y como

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TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA COMPUTACIONAL

hemos dicho antes, las variables físicas normalmente son funciones, a veces sólo del
tiempo (como p. ej. el valor promedio de la temperatura en una habitación), aunque
con mucha frecuencia serán funciones tanto del espacio como del tiempo (como p. ej.
el campo de tempera