PDF de programación - Lección 8: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales - Tutorial básico de MATLAB

Lección 8. Matrices y Sistemas de Ecuaciones
Lineales

MIGUEL ANGEL UH ZAPATA1
Análisis Numérico I
Facultad de Matemáticas, UADY

Septiembre 2014

1Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida.

En esta lección recordaremos los conceptos
básicos sobre matrices y sistemas de ecuacio-
nes.
Al final debemos de:

Conocer las propiedades más importantes
de las matrices.

Poder establecer las condiciones para que
una matriz sea invertible.

Entender los diferentes formatos de pre-
sentar un sistema de ecuaciones.

Determinar cuando un sistema de ecua-
ciones tiene solución única.

Análisis Numérico

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales

En este capítulo se desarrollarán métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y siste-
mas de ecuaciones no lineales. También se presentará un breve repaso de las principales defini-
ciones relacionadas con el tema de matrices.

1. Vectores

Antes de definir el concepto de matriz iniciemos con el concepto básico de lo que es un vector
y algunas de sus propiedades.

Un vector real n−dimensional x es un conjunto ordenado de n números reales que
normalmente se escribe como

x = (x1, x2,··· , xn) .

Los números x1, x2,··· , xn se llaman componentes o coordenadas de x.

Sean x = (x1, x2,··· , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) dos vectores.

Suma

Producto
escalar

Producto
punto

Norma

Vector
columna

La suma de dos vectores x e y se calcula componente a componen-
te, es decir,

x + y = (x1 + y1, x2 + y2,··· , xn + yn) .

Si c es un número real (un escalar), se define el producto de c y x
como

cx = (cx1, cx2,··· , cxn) .

El producto escalar (ó producto punto) de dos vectores x e y es un
escalar (un número real) definido por la relación

x · y = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn.
La norma (ó módulo) del vector x se define como
2 + ··· + x2

x =

x2
1 + x2



n

A veces es conveniente escribir los vectores como columnas en vez
de escribirlas como filas. Por ejemplo,



 x1

x2
...
xn

x =

Matrices y Sistemas de Ecuaciones

3

Análisis Numérico

2. Matrices

En general, una matriz es una colección de números reales dispuestos de forma rectangular en
filas y columnas. De manera más formal

Una matriz con m filas y n columnas se dice que es de orden m × n. En general, una
letra mayúscula A denota una matriz, mientras que las correspondientes minúsculas
aij indican uno de los números que forman la matriz, de manera que se escribe

A = [aij]m×n

para

1 ≤ i ≤ m,

1 ≤ j ≤ n

siendo aij el número que ocupa la posición (i, j) (o sea, que está en la i−ésima fila y la
j−ésima columna de la matriz). Se puede escribir la matriz A en forma desarrollada,
es decir,



A =

a11
a12
a21
a22
...
...
ai1
ai2
...
...
am1 am2

···
···

a1j
a2j
...
aij
...
··· amj

···

···
···

a1n
a2n
...
ain
...
··· amn

···



Filas

Las filas de una matriz A de orden m × n son vectores n−dimensionales:

V1 = (a11, a12,··· , a1n)
V2 = (a21, a22,··· , a2n)

Vi = (ai1, ai2,··· , ain)

...

...

Vm = (am1, am2,··· , amn)

que pueden verse también como matrices de orden 1 × n (matrices fila) y,
entonces, lo que se ha hecho es dividir la matriz A de orden m × n en m
submatrices que son matrices de orden 1 × n.
En este caso, puede expresarse a la matriz A como una matriz de orden m×1
cuyos elementos son las matrices-fila Vi de orden 1 × n; esto es,





V1
V2
...
Vi
...
Vm

A =

Matrices y Sistemas de Ecuaciones

4

Columnas De manera similar, las columnas de una matriz A de orden m×n son matrices

de orden m × 1 (matrices-columna):

 ,



a11
a21
...
ai1
...
am1

 ,



a1j
a2j
...
aij
...
amj

C1 =

··· , Cj =

··· , Cn =

Análisis Numérico

 .



a1n
a2n
...
ain
...
amn

En cuyo caso, se puede expresar a la matriz A como una matriz de orden
1 × n cuyos elementos son las matrices-columna Cj de orden m × 1:

··· Cj

··· Cn

.

Ejemplo:
Identificar las matrices fila y las matrices columna asociadas a la siguiente matriz de orden
4 × 3

A =

9
1
8
6 −5

4
5 −7
0 −3
−4

A = C1 C2
 −2
 .
V1 = −2 4 9 ,
V2 = 5 −7 1 ,
V3 = 0 −3 8 ,
V4 = −4 6 −5 .
 y C3 =
 4
 , C2 =
 V1
 ,
A = C1 C2 C3

−7
−3
6

.

A =

V2
V3
V4

 .

 9

1
8
−5

Solución:
Las cuatro matrices fila son:

Las tres matrices columna son:

 −2

5
0
−4

C1 =

o mediante una matriz de columnas:

Notar que A se puede representar mediante una matriz de filas:

Matrices y Sistemas de Ecuaciones

5

Análisis Numérico

Sean A = [aij]m×n y B = [bij]m×n dos matrices del mismo orden.

Suma

La suma de dos matrices A y B del mismo orden m × n se calcula
elemento a elemento; es decir, se define

A + B = [aij + bij]m×n

para

1 ≤ i ≤ m,

1 ≤ j ≤ n.

Producto escalar

Si c es un número real (un escalar), definimos el producto (multiplo
escalar) cA como

cA = [caij]m×n

para

1 ≤ i ≤ m,

1 ≤ j ≤ n.

Producto

Si A = [aik]m×n y B = [bkj]n×p son dos matrices con la propiedad
de que A tiene tantas columnas como B filas, entonces la matriz
producto AB se define como la matriz C de orden m × p

AB = C = [cij]m×p

cuyo elemento cij es el producto escalar (producto punto) de la
i−ésima fila de A por la j−ésima columna de B:

cij =

aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + ··· + ainbnj

n

k=1

para

i = 1, 2,··· , m y

j = 1, 2,··· , p.

Ejemplo:
Calcular el producto C = AB de las siguientes matrices A y B;



A =

2 3
−1 4

y B =

5 −2

3

1
8 −6



Solución:
La matriz A tiene dos columnas y la matriz B tiene dos filas, así que el producto matricial AB
puede hacerse. El producto de una matriz de orden 2 × 2 por una matriz de orden 2 × 3 es una
matriz de orden 2 × 3. Si se realizan los cálculos, resulta



5 −2



AB =

2 3
−1 4

1
8 −6

3



10 + 9 −4 + 24
−5 + 12

2 − 18
2 + 32 −1 − 24


19 20 −16

7 34 −25

=

=



= C

Cuando se intenta realizar el producto BA, se descubre que no puede hacerse porque las filas de
B son vectores tridimensionales y las columnas de A son vectores bidimensionales; de manera
que el producto escalar de una fila de B por una columna de A no está definido.

Matrices y Sistemas de Ecuaciones

6

2.1 Algunas Matrices Especiales.

Análisis Numérico

2.1. Algunas Matrices Especiales.
La matriz de orden m × n cuyos elementos son todos cero se llama matriz cero, o matriz nula,
de orden m × n y se denota por

0 = [0]m×n.

La matriz identidad, o matriz unidad, de orden n es la matriz cuadrada dada por

δij =
Por ejemplo la matriz identidad de 4 × 4 esta dada por

In = [δij]

donde

i = j
i = j

0 si

1 si
 .
 1 0 0 0

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

I4 =

2.2. Matrices Inversibles.
Se dice que una matriz A cuadrada de orden n × n es invertible, o no singular, si existe una
matriz B también de orden n × n tal que

AB = BA = I.

Si no es posible encontrar una matriz B que verifique lo anterior, entonces se dice que A es sin-
gular; o no invertible. Cuando A es invertible, la matriz B se llama inversa de A y se representa
por B = A−1, lo que permite usar la relación
AA−1 = A−1A = I

si A es invertible.

2.3. Determinantes.
El determinante de una matriz cuadrada A es una cantidad escalar (un número real) que se
denota por det(A) o bien | A |. Si A es una matriz de orden n × n

A =

entonces se suele escribir

a21 a22
...
...
an1 an2

 a11 a12


a11 a12
a21 a22
...
...
an1 an2



··· a1n
··· a2n
...
··· ann



··· a1n
··· a2n
...
··· ann

det(A) =

Aunque la notación para el determinante es muy parecida a la notación para una matriz, sus
propiedades son muy distintas; para empezar, el determinante es un número real.

Matrices y Sistemas de Ecuaciones

7

2.3 Determinantes.

Análisis Numérico

Si A = [aij] es una matriz de orden 1 × 1, se define

det(A) = a11.
Si A = [aij] es una matriz de orden 2 × 2, se define

det(A) = a11a22 − a12a21.

Si A = [aij]n×n, con n ≥ 3, entonces sea Mij el determinante de la submatriz de
orden (n− 1)× (n− 1) extraída de A borrando la fila i−ésima y la columna j−ésima
de A; este determinante Mij se llama el menor de aij. El cofactor Aij de aij se define,
entonces, como

Aij = (−1)i+jMij

y, finalmente, el determinante de la matriz A de orden n × n viene dado por

n

det(A) =

aijAij

(desarrollado por la i−ésima fila).

j=1

Ejemplo:
Calcular el determinante de las matrices

A =



,



2 3
−4 5

3
8
−4
5 −1
7 −6
9


 2
= 2(5) − (3)(−4) = 22,
−4
+ (8)
−4 −1
− (3)

7

9

B =



5
7 −6

Solución:

y

det(A) =

2 3
−4 5



5 −1
−6
9

det(B) = (2)

= (2)(45 − 6) − (3)(−36 + 7) + 8(24 − 35)

= 77.

Matrices y Sistemas de Ecuaciones

8

Análisis Numérico

3. Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Los sistemas de ecuaciones lineales surgen en muchos problemas de ingeniería y ciencia. Los
algoritmos de solución, para los sistemas de ecuaciones lineales, pueden ser directos o iterati-
vos. En los métodos directos, la solución se obtiene mediante un número fijo de pasos sujeto
solamente a errores de redondeo, mientras que los métodos iterativos se basan en mejorar suce-
sivamente los valores iniciales de la solución. Inicialmente estudiaremos los métodos directos
para resolver sistemas de ecuaciones lineales y más adelante se estudiarán los métodos iterativos.

En la práctica es frecuente encontrarse con sistemas de ecuaciones lineales que tienen n ecua-
ciones con m incógnitas, lo cual