PDF de programación - Álgebra lineal con aplicaciones y Python

ÁlgebralinealconaplicacionesyPythonErnestoArandaÁlgebralinealconaplicacionesyPythonErnestoAranda1 Álgebra lineal con aplicaciones y

Python

Ernesto Aranda

Título: Álgebra lineal con aplicaciones y Python
Primera Edición, 2013

c b Ernesto Aranda Ortega, 2013

Impreso por Lulu.com

Composición realizada con LATEX

Todas las imágenes del libro han sido realizadas por el autor a excepción de las figuras 2.1 y
2.3b, debidas a Alain Matthes y la figura 2.4a de Bogdan Giu¸scˇa

Este libro está disponible en descarga gratuita en la dirección
http://matematicas.uclm.es/earanda/?page_id=152

“Aprender matemáticas es un proceso de aprender
a hacer algo, no de adquirir conocimientos.”

J.M. Sanz-Serna
Diez lecciones de Cálculo Numérico1

1Universidad de Valladolid, 1998.

Prólogo

La palabra álgebra proviene del término árabe yabr que significa “reducción”
y aparece por primera vez en el tratado del matemático persa Muhammad ibn
Musa al-Jwarizmi titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (“Compendio de cálculo
por el método de completado y balanceado”) y dedicado especialmente a la
solución de ecuaciones (lineales y cuadráticas). Es por ello que, a lo largo de la
historia, el principal objetivo del Álgebra haya sido la resolución de ecuaciones.
Sin embargo, en el s. XIX comienza a aparecer una temática transversal que
se alimenta de problemas provenientes de la geometría, el análisis, la teoría de
números y por supuesto, la teoría de ecuaciones, que desemboca en el estudio
de estructuras matemáticas abstractas conformando lo que hoy en día se conoce
como álgebra moderna. Este texto está dedicado esencialmente al estudio de
una de tales estructuras abstractas, los espacios vectoriales, dentro de lo que
se conoce como álgebra lineal, y en el que los sistemas de ecuaciones lineales
juegan un papel central.

La división temática de este texto comprende los contenidos correspondientes
a la asignatura de Álgebra de los grados de ingeniería de la Universidad de
Castilla-La Mancha, en los que el autor imparte docencia desde hace años,
aunque el material que presentamos puede ser también una referencia útil en
carreras científico-técnicas en las que es habitual una formación en álgebra lineal,
al constituir ésta una herramienta matemática básica en numerosas disciplinas.

En lo que se refiere a los contenidos del texto, habría que dividir el libro
en dos partes: en los tres primeros temas que tratan sobre números comple-
jos, matrices y determinantes y sistemas de ecuaciones lineales presentamos las
herramientas esenciales que conforman el soporte básico del cual se nutren el
resto de temas. Aunque es probable que el lector haya tenido contacto con estos
conceptos en cursos anteriores, seguramente encontrará que el tratamiento de
los mismos y la notación empleada no le son tan habituales. Sin embargo hemos
de resaltar la importancia que supone entender y manejar apropiadamente el
lenguaje matemático. Por ello hemos incluído en un primer apéndice (apéndi-
ce A) una serie de conceptos generales en el que tratamos de familiarizar al
lector con la notación y el uso de sentencias lógicas de una forma intuitiva, a la
vez que introducimos unas cuantas nociones de teoría de conjuntos, funciones y
estructuras algebraicas. El tratamiento en este apéndice dista mucho de ser ma-
temáticamente riguroso y solo pretende fijar algunas ideas básicas en el lector.

3

4
4
4

Pr ólogo
Pr ólogo
Pr ólogo

Aunque aparece al final del texto, recomendamos encarecidamente la lectura del
mismo antes de abordar los demás temas.

En una segunda parte, que comenzaría con el tema 4, se desarrolla el material
típico en un curso de álgebra lineal: espacios vectoriales, aplicaciones lineales,
diagonalización y espacios euclídeos. Hemos incluído además un tema dedicado
al estudio de ecuaciones lineales en diferencias y otro al espacio afín, con los
que cubrimos los contenidos especificados en los descriptores de la asignatura
para el primer curso de los nuevos grados de ingeniería.

En cada uno de los temas se pretende ofrecer al lector varias perspectivas de
la materia. Así, se ha proporcionando una relación de definiciones y resultados
con un enfoque muy matemático, incluyendo una buena cantidad de demostra-
ciones que pueden ser omitidas en cursos de corte más técnico, a la vez que
hemos tratado de ilustrar estos resultados con numerosos ejemplos. Por otro
lado, hemos incluído en cada tema alguna aplicación relevante que pone de ma-
nifiesto que el álgebra no solo no es una disciplina abstracta, sino que por el
contrario, sus herramientas juegan un papel destacado en diversas aplicaciones.
Y además, teniendo en cuenta la realidad actual en la que los ordenadores están
cada vez más presentes en todos los contextos, hemos tratado de ilustrar el uso
del lenguaje de programación Python para llevar a cabo buena parte de los
cálculos involucrados en cada uno de los temas.

Es importante señalar que éste no es un libro para aprender a programar
en Python pues no hace un tratamiento profundo de una serie importante
de características del lenguaje. No obstante, con las indicaciones incluídas en
cada tema, creemos que el lector podrá usar el lenguaje para el propósito que
planteamos aquí, que no es más que ayudar en los cálculos, en ocasiones tediosos,
que son necesarios realizar a lo largo del texto. En cualquier caso incluímos en un
segundo apéndice (apéndice B) una breve introducción de los aspectos esenciales
para el manejo de Python, de obligada lectura para los profanos en el lenguaje.

Como en cualquier otra asignatura de matemáticas, el aspecto esencial que
se persigue es la adquisición de destrezas más que conocimientos. Tal y como
reza la cita con la que abrimos este texto: aprender matemáticas es un proceso
de aprender a hacer algo, no de adquirir conocimientos. Obviamente no debe
interpretarse esto como una invitación a dejar de lado los contenidos teóricos de
la asignatura, por otra parte imprescindibles. Pero es fundamental tener presente
que el aprendizaje debe ir encaminado a la resolución de problemas.
No es sino mediante los ejercicios como el lector podrá poner a prueba el éxito de
su aprendizaje y es por ello que recomendamos encarecidamente que sea ésa la
labor central de su trabajo. El estudio de la teoría es simplemente una condición
necesaria para poder resolver los problemas.

En ese sentido hemos incluído en cada tema una sección final con ejercicios
de diversa naturaleza. Por una parte aparecen ejercicios de repaso con los que se
pretende que el lector pueda comprobar la correcta adquisición de conocimien-
tos y herramientas básicas de cada tema. El apartado de problemas comprende
ejercicios más variados en los que se requiere ir un paso más allá que en los

Pr ólogo

5

ejercicios de repaso, bien precisando del uso simultáneo de varios conceptos o de
algunas técnicas más depuradas. Hay también un apartado dedicado a ejercicios
teóricos de naturaleza más matemática y con los que se persigue que el lector
ponga en práctica técnicas similares a las aprendidas en las demostraciones de
los resultados, y finalmente, hay un breve apartado de ejercicios adicionales de
carácter opcional que tienen que ver con las aplicaciones y/o el uso de Python
que reservamos para el lector interesado. Hemos marcado con * aquellos ejerci-
cios que pueden resultar de mayor dificultad y hemos incluído en el apéndice C
las soluciones a los ejercicios de repaso.

La versión electrónica de este libro estará siempre disponible en descarga
directa en la dirección que figura al final de la página de créditos. Agradecemos
de antemano al lector cualquier sugerencia que nos haga llegar para mejorar el
contenido de este libro.

Ciudad Real, 28 de enero de 2013.
El autor.

Índice general

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 El cuerpo de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Representación gráfica: módulo y argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Forma trigonométrica y forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Potencia y raíz n-ésima de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Cálculo con Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Una breve incursión en el mundo fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Matrices y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1 Matrices: primeras definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2

Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Cálculo de la inversa mediante operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5 Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.7 Aplicación de los determinantes al cálculo de la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.8 Cálculo con Python . . . . . . . . . . . . . .