PDF de programación - Tema 2: Sistema binario de representación numérica

Titulación: Grado en Ingeniería Informática
Asignatura: Fundamentos de Computadores

Bloque 1: Introducción
Tema 2: Sistema binario de representación numérica

Pablo Huerta Pellitero

Sistema binario de representación numérica

ÍNDICE

• Bibliografía.
•
• Conversión entre bases.

Sistemas de numeración de base fija.

 Sustitución en serie.
 División/multiplicación por la base.
 Conversión rápida binario-hexadecimal, binario-octal.

• Aritmética binaria.
• Representación de enteros en el computador.


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BIBLIOGRAFÍA

Sistema binario de representación numérica

“Fundamentos de Computadores” , cap 1
Editorial Síntesis
Thomas L. Floyd
“Fundamentos de Sistemas Digitales”, cap 2
Editorial Prentice Hall

• Román Hermida, Ana Mº del Corral, Enric Pastor, Fermín Sánchez


•


• Daniel D. Gajski


• M. Morris Mano



“Principios de Diseño Digital”, cap 2
Editorial Prentice Hall

“Diseño Digital”, cap 1
Editorial Prentice Hall

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Sistema binario de representación numérica

ÍNDICE

• Bibliografía.
•
• Conversión entre bases.

Sistemas de numeración de base fija.

 Sustitución en serie.
 División/multiplicación por la base.
 Conversión rápida binario-hexadecimal, binario-octal.

• Aritmética binaria.
• Representación de enteros en el computador.


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SISTEMAS DE NUMERACIÓN DE BASE FIJA

Sistema binario de representación numérica

• Un sistema numérico consta de:

 Un conjunto ordenado de símbolos (cifras o dígitos).
 Relaciones definidas para la suma, resta, multiplicación y división.
Se denomina base de un sistema numérico al número de cifras o dígitos
que utiliza.
Ejemplos:
 Sistema decimal (base = 10).

•

•

• Dígitos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

 Sistema binario (base = 2).

• Dígitos: {0, 1}

 Sistema hexadecimal (base = 16).

• Dígitos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

 Sistema octal (base = 8).

• Dígitos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}



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SISTEMAS DE NUMERACIÓN DE BASE FIJA

Sistema binario de representación numérica

Los números en un sistema de numeración consisten en una secuencia de
dígitos que pueden tener parte entera y parte fraccionaria separadas por
una coma:

N = (ap-1 ap-2 ... a1 a0 , a-1 a-2 ... a-q)r

ai son los dígitos,
p es el número de dígitos enteros,
q es el número de dígitos fraccionarios,
ap-1 es el dígito más significativo,
a-q es el dígito menos significativo.



Ejemplo:
 (107,45)10
 (1A3,B)16
 (101110,11)2
 (1473,13)8
Esta forma de representar un número se conoce como notación
posicional.

6

•

•

•



SISTEMAS DE NUMERACIÓN DE BASE FIJA

Sistema binario de representación numérica

Se define el peso del dígito ai como ri .

•
• Cada dígito tiene asociado un valor en función de su peso, y es el producto

de dicho dígito por el peso.
 Valor de ai : ai · ri

• Un número se puede representar como la suma de los valores de todos

sus dígitos:



Ejemplo: el número en notación posicional (123,54)10 se puede
representar como :


Esta forma de representar un número se conoce como notación
polinomial.


•

•

7

pqiiiraN2101210104105103102101)54,123( Sistema binario de representación numérica

ÍNDICE

• Bibliografía.
•
• Conversión entre bases.

Sistemas de numeración de base fija.

 Sustitución en serie.
 División/multiplicación por la base.
 Conversión rápida binario-hexadecimal, binario-octal.

• Aritmética binaria.
• Representación de enteros en el computador.


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CONVERSIÓN ENTRE BASES

Sistema binario de representación numérica

• Dos métodos diferentes: sustitución en serie y división/multiplicación por

•

la base.
Sustitución en serie: se utiliza para pasar un número en base r a base s,
utilizando las operaciones de la base s.
 Sólo hay que evaluar la notación polinomial del número utilizando las

operaciones de la base s:

 Ejemplo: convertir el número (101,01)2 a decimal.



 Ejemplo: convertir el número (1AC,2)16 a decimal.



9

10210122)25,5(25,001042120212021)01,101(10101216)125,428(0625,02112161025611621616161)2,1(CAAC CONVERSIÓN ENTRE BASES

Sistema binario de representación numérica

• División/multiplicación por la base: se utiliza para pasar un número en

base r a base s utilizando las operaciones de la base r.



 Para la parte entera:

• Se divide la parte entera entre la base s. El resto obtenido será el dígito a0 de la

parte entera.

• El cociente se divide de nuevo entre la base s, obteniéndose un nuevo resto que

será a1 .

• Se continúa realizando divisiones sucesivas obteniendo nuevos dígitos, hasta que el

cociente vale ‘0’.

 Para la parte fraccionaria:

• Se multiplica la parte fraccionaria por la base s, obteniéndose un nuevo número

que tendrá parte entera y parte fraccionaria. La parte entera será el dígito a-1 .
• La nueva fraccionaria se vuelve a multiplicar por la base, obteniendo un nuevo

dígito a-2 .

• Se continúa hasta que se obtiene una parte fraccionaria igual a ‘0’, ó se tienen

suficientes dígitos.



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Sistema binario de representación numérica

CONVERSIÓN ENTRE BASES

•

Ejemplo: convertir el número (214)10 a binario.


214 2

0 107 2

1 53

2

1 26

2

0 13 2

1 6

2

0 3

2

1 1

2

1 0

¡ FIN !

Resultado: (214)10 = 1 1 0 1 0 1 1 0

11

Sistema binario de representación numérica

CONVERSIÓN ENTRE BASES

•

Ejemplo: convertir el número (0,8125)10 a binario.

0,8125 X 2
1, 6250

0,6250 X 2
1, 250

0,250 X 2
0, 50

0,50 X 2
1, 0

¡ FIN !

Resultado: (0,8125)10 = 0, 1

1

1

0

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Sistema binario de representación numérica

CONVERSIÓN ENTRE BASES

•

Ejemplo: convertir el número (1963)10 a hexadecimal.

1963

16

11

122

10

16

7

7

16

0

¡ FIN !

Resultado: (1963)10 = ( )16

B

7

A

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Sistema binario de representación numérica

CONVERSIÓN ENTRE BASES

•

Ejemplo: convertir el número (0,1025390625)10 a decimal.

0,1025390625 X 16

1, 640625

0,640625 X 16

10, 25

0,25 X 16

4, 0

¡ FIN !

Resultado: (0,1025390625)10 = (0, )16

A

1

4

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CONVERSIÓN ENTRE BASES

Sistema binario de representación numérica

Correspondencias de los 15 primeros números en distintas bases

Decimal

Binario

Octal

Hexadecimal

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

100

101

110

111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

4

4

5

5

6

6

7

7

10

11

12

13

14

15

16

17

8

9

A

B

C

D

E

F

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CONVERSIÓN ENTRE BASES

Sistema binario de representación numérica

• Para convertir de binario a hexadecimal y viceversa, así como de binario a

octal, existe un método sencillo.

• Binario => hexadecimal: se completa con ‘0’ por la izquierda hasta que se

tenga un número de bits múltiplo de 4. Se agrupan los bits de 4 en 4 y
cada grupo de 4 bits se convierte directamente a hexadecimal:



0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 1 0 1 1 0 1

6

D

• Hexadecimal => binario: cada dígito hexadecimal se sustituye por su

2

correspondiente valor en binario con 4 bits:

4 A F 2

0100 1010 1111 0010

16

CONVERSIÓN ENTRE BASES

Sistema binario de representación numérica

• Para pasar de binario a octal y viceversa el proceso es el mismo, pero

agrupando los bits de 3 en 3:

Binario a octal

1011101001

001011101001

Octal a binario

1 3 5 1

1 7 3 2

001 111 011 010

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Sistema binario de representación numérica

ÍNDICE

• Bibliografía.
•
• Conversión entre bases.

Sistemas de numeración de base fija.

 Sustitución en serie.
 División/multiplicación por la base.
 Conversión rápida binario-hexadecimal, binario-octal.

• Aritmética binaria.
• Representación de enteros en el computador.


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ARITMÉTICA BINARIA

Sistema binario de representación numérica

•

•

El sistema binario es el utilizado por los computadores para la
representación de los números por dos razones:
 Los dispositivos electrónicos que manejan señales con sólo dos posibles

valores son mas sencillos y baratos de fabricar.

 Las operaciones aritméticas en binario son sencillas de implementar.
En el sistema binario cualquier número se representa utilizando
solamente los dígitos ‘0’ y ‘1’.

• Para referirse a los dígitos binarios se utiliza habitualmente el término bit

(binary digit).
Las tablas de las operaciones aritméticas básicas son:

•

19

ARITMÉTICA BINARIA

•

Ejemplos:

Sistema binario de representación numérica

acarreo



Sumar: 1011 + 0011


1

1

acarreo

1 0 1 1
0 0 1 1

+

1 1

1

0

Sumar: 1001 + 1011


1



+

1

1

1 0 0 1
1 0 1 1

1 0

1

0

0

Restar: 101101 - 011011


1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1



-

1
0

1
0 0 1

0 1

Restar: 101101 - 011110


1 0 1 1 0 1
0 1 1 1 1 0

acarreo



-

1

1

1 1

acarreo

0

0

1

1

1 1

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Sistema binario de representación numérica

ARITMÉTICA BINARIA

•

Ejemplos:

Multiplicar: 1100 X 101

Dividir: 1101001 / 101

1 1 0 0
x 1 0 1

1 1 0 0

0 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 1 0 0

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1
1 0 1

1

0

1

0

1

Cociente

0 0 1 1
0 0 0

1 1 0
1 0 1
0 0 1 0
0 0 0
1 0
1
1 0 1
0 0 0

Resto

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Sistema binario de representación numérica

ÍNDICE

• Bibliografía.
•
• Conversión entre bases.

Sistemas de numeración de base fija.

 Sustitución en serie.
 División/multiplicación por la base.
 Conversión rápida binario-hexadecimal, binario-octal.

• Aritmética binaria.
• Representación de enteros en el computador.


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REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN EL COMPUTADOR

Sistema binario de representación numérica

•

•

En un computador los tamaños de los datos que se pueden manejar