PDF de programación - Matemáticas Básicas - Teoría de Funciones

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Teoría de funciones

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa



MATEMÁTICAS BÁSICAS

TEORÍA DE FUNCIONES



Las magnitudes que caracterizan un fenómeno dado pueden quedar completamente determinadas por
los valores de otras. Estas interdependencias fueron las que dieron origen al concepto de función porque
gran parte de los fenómenos que se observan en la naturaleza se pueden relacionar unos con otros a
través de correspondencias.


CONCEPTOS BÁSICOS DE FUNCIONES

Una función se refiere a una asignación o correspondencia de un conjunto a otro. Su definición formal es
la siguiente:

Una función es una terna constituida por:

1. Un conjunto A llamado dominio de la función
2. Un conjunto B llamado codominio de la función
3. Una regla de correspondencia que posee tres características

a) A todo elemento del dominio se le puede asociar un elemento del codominio
b) Ningún elemento del dominio puede quedarse sin un asociado en el codominio
c) Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio.


Se denota como:


Af

:

B



*

*

*

*

A

Rango

B

*

*

*

*

Dominio

Codominio



fD , de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable
El dominio, denotado por
independiente, es decir, son todos aquellos números para los cuales la función tiene sentido (también se
conoce como campo de variación).

Al elemento que se obtiene en el codominio después de aplicar la regla de correspondencia a un
elemento del dominio recibe el nombre de imagen. Al conjunto de todas las imágenes se le conoce como
rango1, denotado por



1 Al rango también se le conoce como recorrido.

fR .



1

fi
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Teoría de funciones

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Ejemplo.
Sea un conjunto de siete muchachos y otro conjunto sus edades respectivas en años:


NOMBRE

EDAD

Alberto
Clarissa
Diana
Ernesto
Fabiola
Karen
Manuel

17
16
19
17
16
19
15


La tabla muestra que a cada muchacho le corresponde una edad y cumple con las condiciones de función, por lo
que su dominio es: { Alberto, Clarissa, Diana, Ernesto, Fabiola, Karen, Manuel } y el rango es { 15,16,17,19 }.

Si se denota a x como un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en el recorrido que f
asocia con x , es la imagen de x bajo la función f . Esto es: f (Manuel) = 15, f (Clarissa) = f (Fabiola) = 16,
f (Alberto) = f (Ernesto) = 17 y f (Diana) = f (Karen) = 19.


En términos de variables, una función también se puede definir de la siguiente forma:

Se dice que una variable y es función de otra x , cuando ambas están relacionadas de forma que para
cada valor de x perteneciente a su campo de variación, le corresponde sólo uno de y . La variable y
recibe el nombre de variable dependiente, mientras que x es la variable independiente.

Lo anterior puede expresarse simbólicamente de la siguiente forma:

Esta manera de representar una función es especialmente útil, pues se puede saber con certeza el valor
que toma la variable dependiente para cualquier valor que tome la variable independiente. Esto posibilita
la construcción de una tabla de valores de la misma y su respectiva gráfica, debido a que cada pareja de
valores (

Por tanto, una función puede ser presentada de múltiples maneras: una expresión matemática del tipo
y =
, una tabla de valores, una gráfica o incluso una frase que exprese la relación entre ambas variables2.

de la tabla que se calcule representa un punto del plano cartesiano.

( )xf

( )xf

)yx,

y =



Para encontrar el dominio y el rango de una función es necesario efectuar una inspección particular que
analice su comportamiento, para lo cual se recomienda: para el dominio, que esté despejada la variable
dependiente y para el rango que lo esté la variable independiente. A partir de esas expresiones, se efectúa
un análisis que consiste básicamente en determinar los valores reales de la variable no despejada que
hacen reales los valores de la variable despejada, obteniendo así el dominio y el rango respectivamente.

Ejemplos.
Determinar el dominio y el rango de las siguientes funciones:
( )
xf
1)
Solución:
La función está definida para todo valor de x , es decir, su dominio son todos los números reales:
(
-=
fD

= x

2 +

)

5



,


2 No todas las funciones son de una sola variable independiente. En realidad, el concepto de función es más general. La definición
más completa de función es la siguiente: Una función es una ley que relaciona una o más variables independientes con otra variable
dependiente de forma unívoca, es decir, que a cada conjunto de valores formado por un valor de cada una de las variables
independientes le corresponde sólo un valor de la variable dependiente. Una función de varias variables tendría este aspecto:
y

. A lo largo de este libro, sólo se analizarán funciones de una variable.

(
xxxf

=

)

,

,

,

1

2

.

3

nx



2

¥
¥



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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

=

Despejando x para obtener el rango:
y
x
Resolviendo la desigualdad:

-⇒+
y

⇒

=

x

5

5

2

2

y

5

0

5

=
x
y
‡⇒
y


5



[
,0

)



x

=
fR

( )
=
xf
2)
Solución:
La función está definida para todo valor de x , es decir, su dominio son todos los números reales:
(
-=
fD
Por definición de valor absoluto, el valor más pequeño que puede tener y es cero:

)

,


)



[
,0

=

fR



3)

( )
xf

=

1
2 -

x



9

3-=x

y

3=x

, ya que la división por cero no existe:

1
y

=

2

x

1
y

=⇒+

x

9

+

9



1
y

)

(
-=

Solución:
La función está definida para todo valor de x , exceptuando
fD
Despejando x para obtener el rango:
⇒=
1

(
,3

(
x

3,

3,3

⇒

=

)

(

)

)

∪

∪

y

x

y

9

9

1



2

2

⇒=

2

x

9

Resolviendo la desigualdad:

‡+
9

1
y

0

⇒

1
y

9



1-
9
1-
9

,

, entonces su intersección es:

, entonces su intersección es:

[
,0

∪

1

9




)



0>y

.

£y

1-
9

.

0>y

:

‡y

Si

0<y

:

£y

Si

fR


-=




( )
=
xf
4)
Solución:

[
= ,4

)

5 -
x

20



El radicando no puede ser negativo, así que:

x

5

20

0

⇒

x

5

20

‡⇒
x

20

5

‡⇒
x

4



0‡y
)


[
,0

=



fD
Para obtener el rango, se observa que el valor mínimo que se puede obtener de una raíz cuadrada es
cero, así que:

.

2=

fR

( )
xf
5)
Solución:
La función seno está definida para todo valor de x , es decir, su dominio son todos los números reales:
(
-=
fD

sen

)

x



,



3

-
‡
-
¥
\
¥
¥
¥
\
¥
-
-
¥
-
-
-
-
‡
¥
-
¥
\
‡
‡
-
¥
¥
\
¥
¥
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

El rango de la función seno está definida está definida para
dos, este rango se duplica:

[
]2,2-=



fR

1

x

1

, pero como tiene una amplitud de



FUNCIONES INYECTIVAS, SUPRAYECTIVAS Y BIYECTIVAS

• Una función es inyectiva cuando a diferentes elementos del dominio le corresponden distintos
elementos del codominio, y recíprocamente, a distintos elementos del codominio se le asocian
diferentes elementos del dominio. También se le conoce como función uno a uno.



*
*
*
*

A

*
*
*
*
*

B

Dominio

Codominio

x

y

2=

Ejemplo.
La función
reales positivos (por tanto, excluye a todos los reales negativos y al cero).

• Una función es suprayectiva si cualquier elemento del codominio es imagen de por lo menos un

tiene como dominio al conjunto de los números reales y su rango son los números



elemento del dominio de la función. También se le conoce como sobreyectiva.



*
*
*
*
*

A

Rango = B

*

*

*

B



Dominio

Codominio

y

x

=

33 -


Ejemplo.
La función
números reales. Pero la función presenta un crecimiento hasta llegar a
hasta
misma imagen, por lo tanto no es una función uno a uno.


tiene como dominio al conjunto de los números reales y su rango también son los
, después un decrecimiento
y vuelve a crecer. Por lo tanto, existe un intervalo cuyos valores del dominio tienen la

2-=y

2=y

x



4

£
£
-
\
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

• Una función es biyectiva si cumple con ser inyectiva y suprayectiva. La regla de correspondencia es

biunívoca.



*
*
*
*
*

A

*
*
*
*
*

B

Dominio

Codominio

6 -
= x

y

2

tiene como dominio y rango al conjunto de los números reales. Cumple con ser


Ejemplo.
La función
inyectiva y suprayectiva.

Pueden existir funciones que no sean ni inyectivas ni suprayectivas, es decir, en donde la asociación no
sea uno a uno y además que no cumplan que el rango y el codominio sean iguales, como por ejemplo:



*
*
*
*
*

A

*

*
*
*

*

B

Dominio

Codominio



En general, se pueden efectuar innumerables correspondencias entre dos conjuntos, sin embargo, sólo serán
funciones aquellas que cumplan con las condiciones definidas. Las que no las cumplan sólo serán relaciones.


TIPOS DE FUNCIONES

Función constante

Es una función en que siempre toma el valor k , que es una constante:


( )
xf

=
k


Su dominio son todos los números reales.



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Función identidad

Es una función donde la variable dependiente toma el mismo valor que tiene la variable independiente:


( )
xf

=
x

Su dominio son todos los número