PDF de programación - Traffic Analysis

ARQUITECTURA DE REDES, SISTEMAS Y SERVICIOS

Área de Ingeniería Telemática

Traffic Analysis

Area de Ingeniería Telemática

http://www.tlm.unavarra.es



Arquitectura de Redes, Sistemas y Servicios

3º Ingeniería de Telecomunicación


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Modelando la carga

aleatorio

Variable aleatoria (V)
•  No tiene un valor sino que describe el resultado de un experimento

•  Se caracteriza por la descripción de los posibles resultados que puede
•  Función de distribución / densidad de probabilidad

tomar en términos de probabilidad

Variable discreta

Variable continua

a

•  Función acumulada de probabilidad / distribución

a b

Variable discreta

100%

Variable continua

100%

a

a

Modelando la carga

Procesos estocásticos (V)
•  Una familia de variables aleatorias

Xt : t "T

}

{


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•  Hablaremos de

– 
– 

“Tiempo continuo” cuando T es real, por ejemplo T = [0,"]
“Tiempo discreto” cuando T es numerable, por ejemplo T = {0,1,2!}

!


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Proceso de llegadas

•  Hipótesis fundamental en teoría clásica: llegadas independientes
•  Tasa media de llegadas de llamadas de una gran población de

fuentes (usuarios) independientes: !

…!

tiempo …!

Número de llegadas

•  Hipótesis:


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una llegada

–  En un intervalo suficientemente pequeño solo puede producirse
–  La probabilidad de una llegada en un intervalo suficientemente
pequeño es directamente proporcional a la longitud del mismo
(probabilidad !"t)

–  La probabilidad de una llegada en un intervalo es independiente de
•  Se demuestra que el número de llegadas en un intervalo sigue

lo que suceda en otros intervalos

una distribución de Poisson

P"#t[N = k] =

("#t)k
k!

e$"#t

1

n

!

tiempo

¿ Cuántos eventos suceden en
un intervalo "t ?

Distribución de Poisson

P[N=k]

P[N = k] =

("#t)k
k!

e$"#t

k

!"t
•  Es una función de distribución:
&
= 1+ $%t +
(
'

P[N = k]

#
k=0

"

($%t)2

2

($%t)3

6

+

)
+ ...
+ e,$%t = e$%te,$%t =1
*

•  Su valor medio es !"t :

!

N = E[N] =

kP[N = k]

"

#
k=0

&
= 0 + $%t + ($%t)2 +
(
'

($%t)3

2

+

($%t)4

6

)
...
+ e,$%t = $%te$%te,$%t = $%t
*


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!

!

Tiempos entre llegadas

•  Se demuestra que: si el número de eventos que ocurren en un
intervalo sigue una distribución de Poisson los tiempos entre llegadas
de eventos siguen una distribución exponencial

•  El tiempo entre llegadas sigue una v.a. exponencial de parámetro !
•  Xi variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas

(i.i.d.) (‘X’)


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pX (t) = "e#"t

(t>0)

P[X < t] =1"e"#t

t"e#"t

= 1

"

$

%
0

!

•  Media:

E[X] =

!

•  Tiempo medio entre llegadas 1/! # en media ! llegadas por segundo
!

X1

X2

X3 X4 X5 X6

X7

tiempo

Ejemplo (exponencial)


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Ejemplo (exponencial)


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Ejemplo (proceso de Poisson)


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Random splitting

•  Proceso de Poisson con tasa #
•  Repartidas las llegadas en dos grupos mediante

Bernoulli de parámetro p

•  Los procesos resultantes son procesos de Poisson

de tasas #p y #(1-p)

λ

λp

λ(1-p)


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Superposición

•  La superposición de dos procesos de Poisson es un proceso de

Poisson de tasa la suma de las dos

Poisson process

Poisson process

Poisson process

•  Para ciertos procesos muy comunes (independientes), la

superposición de un grán número de ellos tiende a un proceso
de Poisson

!

limit!

Poisson process


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Tiempo de ocupación

•  Duración de las llamadas
•  Lo más simple: tiempo constante

–  Poco realista para llamadas
–  Actividades automáticas: reproducción de

mensajes, procesado de señalización, etc.

•  Tiempo exponencial

–  Variables aleatorias (continuas) si
– 
–  Tiempos menores de la media muy

i.i.d. (s)

–  Cada vez menos comunes tiempos mayores

comunes

que la media

–  Propiedad: el tiempo restante de una
llamada es independiente de lo que haya
durado hasta ahora

•  Duración exponencial: ‘s’ caracterizada por

!

su función de densidad

!

!

J.R.Boucher, “Voice Teletraffic
Systems Engineering”, Ed.
Artech House

ps(t) = µe"µt

(t>0)

µe"µt =1

#

$
0

es una fdp

s = E[s] = 1
µ


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Intensidad de trafico

Infinitas líneas

• 
•  Llamadas que se generan con una tasa media !
•  Tiempo medio de duración s
•  ¿ Intensidad de tráfico que representan ?

! llegadas por segundo
en media

…!

1 llegada mantiene una línea ocupada
durante s segundos en media


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Intensidad de trafico

•  E[n] = ! s
•  Esto es conocido como la Fórmula de Little
•  ! s

–  Es el tráfico medido en Erlangs
–  Equivalente al número de recursos que se ocuparían en el sistema
con esa carga si el sistema tuviera infinitos recursos (condiciones
de servicio ideales)

n

! llegadas/s

s tiempo medio ocupación

…!

Número medio de
servidores ocupados

E[n] = ! s

t

Número de líneas ocupadas


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•  Hipótesis:

–  Llamadas proceso de Poisson con tasa !
–  Solicitudes de servicio de duración constante ‘s’

•  ¿ Número de líneas ocupadas en un instante cualquiera ?

–  Es una variable aleatoria
–  La probabilidad de que ‘j’ líneas estén ocupadas en un instante es la

probabilidad de ‘j’ llegadas en el intervalo previo de duración ‘s’

–  Depende solo de la intensidad de tráfico !s, que es la media de esta

variable (A = !s)

–  Resulta ser válido independiente de la distribución de ‘s’ (sin demostración)

Intensidad de tráfico

P"s[N = j] =

! Llegadas
por segundo

("s) j
k! e#"s


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#

1 llegada mantiene una línea ocupada
durante s segundos

!

…!

tiempo


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Recursos finitos

•  Normalmente dispondremos de recursos finitos

(capacidad)

•  Problemas de interés

–  ¿ Cuál es la probabilidad de que una llamada encuentre el

–  ¿ Cuál es el número de líneas necesarias para una

sistema ocupado ?

probabilidad objetivo ?

–  ¿ Cuál es el tráfico que atraviesa ese sistema y forma la

carga del siguiente sistema ?


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Probabilidad de bloqueo
•  Llegadas según proceso de Poisson de tasa !
•  Duración exponencial de media s
•  Variable aleatoria (o más bien proceso aleatorio)

–  I número de servidores ocupados en cada instante de
–  La intensidad de tráfico es E[I] = A = !s

tiempo


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#

I líneas ocupadas

Llegadas
Poisson

…!

tiempo

Duración
exponencial

Probabilidad de bloqueo

•  Cuando la variable I toma valor = número de

servidores el sistema está en BLOQUEO

•  ¿ Cuál es la probabilidad de que el sistema esté en

situación de bloqueo ?


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Todos los servidores
ocupados = BLOQUEO


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#

tiempo

Si llegan llamadas durante el
tiempo de bloqueo son rechazadas


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Proba