PDF de programación - tema 1 - introducción a los sistemas digitales

Tema 1

INTRODUCCIÓN A LOS
SISTEMAS DIGITALES

1.1. SISTEMAS DIGITALES

Se puede definir un sistema digital como cualquier sistema de transmisión o procesa-
miento de información en el cual la información se encuentre representada por medio de
cantidades físicas (señales) que se hayan tan restringidas que sólo pueden asumir valores
discretos. En contraposición a los sistemas digitales están los sistemas analógicos en los
cuales las señales tanto de entrada como de salida no poseen ningún tipo de restricción y
pueden asumir todo un continuo de valores (es decir, infinitos).

La principal ventaja de los sistemas digitales respecto a los analógicos es que son más
fáciles de diseñar, de implementar y de depurar, ya que las técnicas utilizadas en cada
una de esas fases están bien establecidas. Por lo tanto, es más sencillo y flexible realizar
un diseño digital que uno analógico. Las operaciones digitales también son mucho más
precisas y la transmisión de señales dentro del circuito y entre circuitos es más fiable
porque utilizan un conjunto discreto de valores, fácilmente discernibles entre sí, lo que
reduce la probabilidad de cometer errores de interpretación. Los sistemas digitales tienen
también una gran ventaja cuando nos referimos al almacenamiento. Por ejemplo, cuando
la música se convierte a formato digital puede ser almacenada de una forma mucho más
compacta que en modo analógico. El mejor argumento a favor de la mayor flexibilidad de
los sistemas digitales se encuentra en los actuales ordenadores o computadoras digitales,
basados íntegramente en diseños y circuitos digitales.

Los sistemas digitales se definen a través de funciones digitales que son, ni más ni
menos, que aplicaciones entre dos conjuntos discretos: el conjunto de todas las entradas
posibles X y el conjunto de todas las salidas posibles Y . Es decir,

F : X 7−→ Y

1

2

TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DIGITALES

Sin embargo, para nosotros los sistemas que tienen mayor interés, por ser los que se
pueden implementar electrónicamente, son los sistemas binarios. Un sistema binario es
aquel en el que tanto las señales de entrada como de salida así como las señales internas
sólo pueden ser “0” o “1”. Por lo tanto, una función digital binaria, o simplemente función
binaria, de n variables binarias, F (xn−1, ..., x0), se define como la aplicación del producto
cartesiano K n en el conjunto K, donde K = {0, 1}. Al contar el mencionado producto
cartesiano con 2n combinaciones, existirán un total de 22n funciones binarias distintas de
n variables.

Para poder implementar una función digital como una función binaria es preciso uti-
lizar señales con solo dos valores “0” ó “1”. Para ello es necesario hacer que las señales
pasen de tomar valores de un conjunto arbitrario (pero finito) a tomar solo 2 valores.
La única forma de conseguirlo es agrupar un conjunto de señales binarias (bits 1) y que,
juntas, codifiquen todos o parte de los elementos del conjunto discreto de entrada y de sa-
lida. A ese conjunto de señales o bits le llamaremos una variable numérica o simplemente
variable.

Para entender mejor este concepto supongamos que tenemos un sistema digital cuyas
entradas son las 5 vocales del alfabeto. Está claro que ese conjunto es discreto y que con
una sola variable binaria no se puede codificar (con un bit solo podemos codificar dos
valores). Para poder representar los 5 elementos es necesario utilizar 3 señales binarias
(bits) y agruparlas formando una variable binaria, por ejemplo A. En este caso, A estará
formada por 3 bits, es decir, A = A2A1A0, con lo cual es capaz de representar hasta 8
elementos diferentes (23). En el caso general una variable de n bits A = An−1An−2...A1A0
puede codificar hasta 2n posibilidades diferentes. La codificación utilizada, es decir, que
representa cada combinación de bits, es totalmente arbitraria y no influirá en el resultado
final. En el caso de las vocales podemos escoger, por ejemplo, la siguiente codificación:

A2 A1 A0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1

0
0
1
1
0
0
1
1

V ocales
(no usada)

a
e

(no usada)

u
i
o

(no usada)

Una función digital se puede representar de muchas formas diferentes. La representa-
ción más usual son las Tablas de Verdad que consisten en una tabla en donde se indica la
salida para todas y cada una de las combinaciones de los bits de entrada. Otras posibles
representaciones son los diagramas de Karnaugh y las expresiones booleanas.

1La palabra bit procede de la contracción de binary digit

1.2. SISTEMAS COMBINACIONALES Y SECUENCIALES

3

X

F

Y

Figura 1.1: Ejemplo de un sistema combinacional.

1.2. SISTEMAS COMBINACIONALES Y SECUEN-

CIALES

Un sistema digital combinacional se define, en general, como aquel sistema en el que las
salidas son solamente función de las entradas actuales, es decir, dependen únicamente de
las combinaciones de las entradas, de ahí su nombre. Estos sistemas se pueden representar
a través de una función del tipo:

F : X 7−→ Y

donde X es el conjunto (discreto) de entradas e Y el conjunto (también discreto) de
salidas. Se suele representar como en la figura 1.1.

Un ejemplo sencillo de sistema combinacional es un portaminas. En este sistema solo
son posibles dos acciones o entradas: pulsar o no pulsar, y solo son posibles dos salidas:
salir la mina o no hacer nada. El sistema es combinacional porque, siempre que se aplique
una entrada, la respuesta del sistema solo depende de esa entrada, es decir, depende de
las combinaciones de las entradas actuales. En nuestro ejemplo del portaminas, siempre
que se pulsa sale la mina mientras que si no se pulsa no pasa nada. Estos sistemas pueden
ser formalizados matemáticamente mediante Álgebras de Boole.

Existe un tipo más general de sistemas, llamados secuenciales, que además de entradas
y salidas poseen unas variables adicionales llamadas variables internas o variables de
estado (o bien simplemente estado). El estado hace que la salida del sistema dependa de
las entradas anteriores además de la entrada actual. Físicamente, el estado va a representar
una propiedad del sistema que, aunque no es observable directamente desde el exterior,
va a determinar la salida que presente dicho sistema ante una entrada determinada. Es
decir, para una misma entrada van a ser posibles distintas salidas, dependiendo del estado
actual del sistema.

Un sistema secuencial se va representar, tal y como se ve en la figura 1.2, por dos
funciones combinacionales (F1 y F2) y un nuevo tipo de función o módulo (∆) que se
encarga de almacenar el valor de los estados. Las funciones F1 y F2 son aplicaciones entre
el conjunto de todas las entradas (X), todas las salidas (Y ) y todos los estados internos
(S). La primera función (F1) calcula el estado siguiente del sistema según el estado y la
entrada actuales.

F1 : S × X 7−→ S

4

X

TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DIGITALES

F1

S

∆

F2

(a)

X

Y

F1

S

∆

F2

(b)

Y

Figura 1.2: Definición de un autómata Mealy (a) y Moore (b).

Por otra parte, F2 calcula cual es la salida en función del estado y de la entrada

también actuales. Es decir,

F2 : S × X 7−→ Y

Esta es la definición de un autómata Mealy. Existe otra forma equivalente de definir
un sistema secuencial que es la representación mediante un autómata Moore. En este caso,
la función F2 solo necesita conocer el estado actual para calcular la salida, es decir,

F2 : S 7−→ Y

Como se ha dicho, ambas formulaciones son equivalentes, y un autómata Mealy se

puede transformar en un autómata Moore y viceversa.

Un ejemplo sencillo de sistema secuencial sería un bolígrafo en donde al pulsar un botón
sale o entra la punta. En este caso también existen dos entradas diferentes: pulsar o no
pulsar, y tres salidas: salir punta, entrar punta o no hacer nada. Siempre que no se pulse no
pasará nada, pero la entrada pulsar produce salidas diferentes según el estado del bolígrafo:
si la punta está fuera entonces entra, mientras que si la punta está dentro entonces sale.
Por lo tanto, la misma acción o entrada (pulsar) produce dos salidas diferentes en función
del estado interno del sistema (punta dentro o punta fuera).

La salida se puede decir que depende de la entrada y el estado actuales, o que de-
pende de toda la historia previa (secuencia de entradas y el estado inicial del que partió
el sistema) que está almacenada en el estado interno del sistema. El nombre de sistema
secuencial se debe a esa dependencia de la salida con la secuencia de entradas (el tipo
de entradas y el orden en el que se aplican). Se puede deducir rápidamente que un siste-
ma combinacional se puede representar como un sistema secuencial con un único estado
interno.

1.3. FUNCIONES LÓGICAS BÁSICAS

5

Cuadro 1.1: Todas las funciones binarias de 1 variable.

f0

f1

f2

f3
X 0 X X 1
1
0
1
1

0
0

1
0

0
1

Cuadro 1.2: Todas las funciones binarias de 2 variables.

X1 X0
0
0
0
1
0
1
1
1

f0
0
0
0
0

f1
1
0
0
0

f2
0
1
0
0

f3
1
1
0
0

f4
0
0
1
0

f5
1
0
1
0

f6
0
1
1
0

f7
1
1
1
0

f8
0
0
0
1

f9
1
0
0
1

f10
0
1
0
1

f11
1
1
0
1

f12
0
0
1
1

f13
1
0
1
1

f14
0
1
1
1

f15
1
1
1
1

1.3. FUNCIONES LÓGICAS BÁSICAS

Tal y como vimos en la definición de función binaria, para una función de n variables
existen un total de 22n posibles definiciones. Por lo tanto, para el caso de funciones de
1 variable existe un total de 221 = 22 = 4 posibilidades, las cuales se pueden ver en el
cuadro 1.1.

Todas esas funciones unarias (de una sola entrada) tienen un nombre. La primera de
ellas, f0, es la función cero, porque su salida siempre es 0. La segunda, f1, es la función
identidad, ya que la salida siempre es igual a la entrada. Físicamente equivale a un cable
o línea de comunicación puesto que transmite la entrada sin ningún tipo de modificación.
La tercera función, f2, es la función NOT porque la salida es siempre la complementaria
(el valor opuesto) a la entrada. La última es la función unidad, ya que siempre es 1
independientemente de la entrada.

En el caso de funciones con dos entradas existen un total de 2