PDF de programación - Números y hoja de cálculo I

1 Números y hoja de cálculo I Curso 2008-09 Colección Hojamat.es 2 © Antonio Roldán Martínez ISBN 978-1-4452-7769-1 http://www.hojamat.es 3 PRESENTACIÓN Este libro recoge, ampliadas y dotadas de soluciones, las principales entradas publicadas en el blog del mismo título (http://www.hojaynumeros.blogspot.com) en la temporada 2008-09. Estudia, por tanto, temas de Matemáticas y de hojas de cálculo separadamente o de forma conjunta. Los primeros se estudian, salvo alguna excepción, dentro de los cuatro apartados incluidos en la página web http://www.hojamat.es: Aritmética, Combinatoria, Congruencias y Divisibilidad, es decir, capítulos de Matemática Discreta. No se han distribuido los temas de forma equitativa, pues ha sido la actualidad la que nos ha hecho optar por unos u otros. El blog origen de esta publicación no tiene planificación previa. Por ello, se ha querido estructurar los temas en distintos capítulos según su temática o metodología. Es importante intentar responder a las cuestiones planteadas sin acudir a las soluciones, pero el autor comprende que la tentación es muy fuerte, por lo que ha ampliado algunas de ellas. El condicionamiento de la actualidad ha podido causar que algunos temas tratados en el blog carezcan de entidad, por lo que no figurarán en este libro. 4 5 TABLA DE CONTENIDO Presentación..................................................................................................3 El atractivo de los cuadrados......................................................................9 Eliminar bolas en un cuadrado...................................................................9 Cuadrados en progresión aritmética........................................................11 Un cuadrado y una unidad........................................................................14 La mitad, cuadrado, el tercio, cubo..........................................................15 Casi narcisistas.........................................................................................16 Cuadrado del simétrico.............................................................................17 Una exploración matemática....................................................................18 ¡Cómo prescindir de los números primos!..............................................21 Dos demostraciones propuestas por........................................................21 T. M. Apostol.............................................................................................21 La hoja de cálculo ayuda a razonar..........................................................22 Primos reversibles (Primo-Omirp)............................................................26 Primos con cifras consecutivas................................................................29 Nidos de primos........................................................................................31 El mayor divisor........................................................................................34 Cerca del cuadrado de un primo..............................................................35 Fórmula de Polignac.................................................................................36 Logaritmo entero.......................................................................................37 Jugamos con cifras....................................................................................41 Una propuesta del “Espejo lúdico”...........................................................41 Aprovechando las cifras...........................................................................41 6 Algoritmo derivado de un problema..........................................................43 Las primeras, doble de las segundas.......................................................46 Números automórficos..............................................................................49 Función “Dígitos”......................................................................................51 Dándole vueltas a un problema.................................................................55 Número más la suma de sus cifras..........................................................55 Los puntos del dominó..............................................................................57 El fósil de un número................................................................................59 Múltiplos de 11..........................................................................................61 Jugamos con los triangulares...................................................................62 Algoritmos...................................................................................................65 Periodo de la fracción 77/23.....................................................................65 Funciones en OpenOffice.org Calc..........................................................67 Algoritmo 196............................................................................................69 Conjuntos idénticos..................................................................................71 La difícil y elegante Combinatoria.............................................................73 Combinado de murciélago........................................................................73 Coloreando el tablero...............................................................................74 Sumas generadas con tres cifras.............................................................74 Problemas de Combinatoria con comprobación......................................76 Ideas para el aula........................................................................................79 Un cuadrado conocido a medias..............................................................79 Ideas para una webquest.........................................................................82 Sistema de numeración binaria................................................................84 Descomponer en tres factores.................................................................85 Múltiplo de cuadrados...............................................................................86 Pasatiempo sencillo..................................................................................88 Miscelánea...................................................................................................91 Fechas cruzadas......................................................................................91 Resolución con dos teclas........................................................................92 7 Proporciones relativas..............................................................................94 Formas curiosas de expresar el año 2009...............................................96 Resolución heterodoxa.............................................................................97 Comentario radiofónico.............................................................................99 Soluciones.................................................................................................103 El atractivo de los cuadrados..................................................................103 ¡Cómo prescindir de los números primos!..............................................111 Jugamos con cifras.................................................................................117 Dándole vueltas a un problema..............................................................121 Algoritmos...............................................................................................130 La difícil y elegante Combinatoria..........................................................130 Miscelánea.................................................................................................134 Apéndice....................................................................................................137 Códigos de macros y funciones.............................................................137 8 9 EL ATRACTIVO DE LOS CUADRADOS Diofanto de Alejandría dedicó casi toda su Aritmética al estudio de los cuadrados. Libros enteros dedicados a conjuntos de cuadrados y sus relaciones. Y es que estos números nos atraen a primera vista, tanto si los consideramos aritméticamente como si observamos su representación geométrica. Nos dan sensación de perfección, de algo acabado. No es casual que el de Pitágoras sea el teorema más popular en nuestra cultura, porque, además, nos muestra algún cuadrado troceado, descompuesto, lo que da más interés al tema, pues la aparente sensación de que un cuadrado es algo terminado y perfecto se rompe cuando se convierte en pieza de construcciones o término de las mismas. ELIMINAR BOLAS EN UN CUADRADO Forma un cuadrado con bolas, situándolas en filas y columnas, las que quieras. Después elimina 10 bolas e intenta reorganizar el resto hasta formar otro cuadrado más pequeño, y verás que resulta imposible, cualquiera que sea el lado del cuadrado que has formado. Prueba entonces a quitar sólo 6 bolas, y observarás que tampoco puedes formar un 10 cuadrado con las restantes. Con otros números sí se puede, dependiendo del lado del cuadrado. ¿Qué tienen de particular el 6 y el 10 para que ocurra esto? Descubre más números con un comportamiento similar, o encuentra una propiedad que cumplan todos. (a) De hecho, hay muchos comportamientos respecto a esta operación. Existen dos tipos de números que sólo permiten convertir un cuadrado en otro más pequeño quitando tantas unidades como tienen ellos de una sola forma. Por ejemplo 8= 32 – 12 como única solución y 7 = 42 – 32 ¿Qué tipo de números son? Otros, sin embargo, no sólo permiten la operación, sino que presentan varias soluciones. Por ejemplo, 192 = 492 – 472 = 262 – 222 = 192 – 132 = 162 – 82 = 142 – 22 ¿De qué depende que unos números presenten una sol