PDF de programación - Números y hoja de cálculo II

1 Números y hoja de cálculo II Curso 2009 - 10 Colección Hojamat.es 2 © Antonio Roldán Martínez ISBN 978-1-4461-0236-7 http://www.hojamat.es 3 PRESENTACIÓN Este es el segundo libro del mismo título que se publica dentro de la colección Hojamat.es. Como el anterior, recoge, ampliadas y dotadas de soluciones, las principales entradas publicadas en el blog del mismo título (http://www.hojaynumeros.blogspot.com) en la temporada 2009-10. El libro no tiene estructura predeterminada. Tan sólo se han clasificado los temas según su contenido, y no se han continuado los capítulos del primer tomo. Cada año tiene sus condicionamientos, y lo que en uno pudo suponer un núcleo importante, en éste ha podido desaparecer. Los temas se han ampliado respecto a los contenidos primitivos de las entradas. El texto de un blog ha de ser más ligero, incluso más del que hemos presentado cada semana. Por eso, en formato de libro se debe presentar todo de forma más completa y reposada. Se ha suprimido alguna entrada que dependía en exceso de la actualidad del momento. 4 5 CONTENIDO Presentación..................................................................................................3 Contenido......................................................................................................5 Primos, casi primos y semiprimos..............................................................9 Primo divisor de un repunit.........................................................................9 Primos, semiprimos y casi primos............................................................12 Proporción entre cubo y cuadrado...........................................................16 Dos búsquedas de primos........................................................................17 Uno de olimpiadas....................................................................................18 Las olvidadas fracciones continuas.........................................................19 Presentación.............................................................................................19 Desarrollo..................................................................................................20 Reducidas.................................................................................................22 Ecuaciones diofánticas.............................................................................24 Aproximación diofántica............................................................................26 Ecuación de Pell.......................................................................................29 Pitágoras y sus ternas................................................................................33 El sueño de Lewis Carroll.........................................................................33 Oblongos y pitagóricos.............................................................................34 Viaje de ida y vuelta a la Geometría.........................................................40 Una investigación en la Red.....................................................................44 La hora de la Combinatoria........................................................................45 Frobenius y los Mcnuggets.......................................................................45 Multicombinatorios....................................................................................49 6 Una concurrencia......................................................................................50 Subfactoriales...........................................................................................52 Jugamos con Sidon y Golomb..................................................................54 Identidad del hexágono............................................................................58 Números de buena figura...........................................................................59 Casi factoriales.........................................................................................59 Curiosidades bien fundamentadas...........................................................59 Sumas de los primeros cuadrados...........................................................62 Cuadrados vecinos de triangulares..........................................................63 ¿Eres un poligonal?..................................................................................69 La Hoja y sus algoritmos............................................................................73 Algoritmos ayudados................................................................................73 SOLVER nos ayuda en un problema......................................................75 Función cifras_distintas............................................................................76 Exploración de soluciones........................................................................79 Suma de tres números triangulares.........................................................81 Factorización de Fermat...........................................................................83 Ideas para el aula........................................................................................87 Deconstruir y construir números...............................................................87 Compartir o no compartir..........................................................................88 ¡Calculadoras fuera!.................................................................................93 También sin calculadora...........................................................................95 Vueltas y vueltas.........................................................................................97 Cubos y gnomones...................................................................................97 El número 30500....................................................................................101 Miscelánea.................................................................................................105 ¿Quién nos conoce?...............................................................................105 Un giro de 365 grados............................................................................106 Sumas con simetría................................................................................108 Propiedades del número 2010...............................................................109 7 Soluciones.................................................................................................111 Primos, casi primos y semiprimos..........................................................111 Las olvidadas fracciones continuas........................................................113 Pitágoras y sus ternas............................................................................113 La hora de la Combinatoria....................................................................117 Números de buena figura.......................................................................121 La hoja y sus algoritmos.........................................................................122 Ideas para el aula...................................................................................124 Vueltas y vueltas.....................................................................................125 Miscelánea..............................................................................................127 Apéndice....................................................................................................129 Códigos de macros y funciones.............................................................129 8 9 PRIMOS, CASI PRIMOS Y SEMIPRIMOS Los números primos tienen muchos parientes, y ellos mismos se visten con ropajes distintos. A partir de ellos se pueden construir muchas propuestas y teorías complementarias, y siempre nos sorprende la variedad que suponen. PRIMO DIVISOR DE UN REPUNIT ¿Sabías que todo número primo N distinto de 2 y 5 es divisor de un repunit (o repuno), que es un número cuyas cifras (en base decimal) son todas iguales a la unidad: 1111111...? Esta propiedad no depende de la base en la que esté escrito el repunit, si ésta es prima con el número dado. Así, 7 divide a 111111 escrito en cualquier base. Observa estas igualdades: 111111(10 = 111111(10 = 7*15873 111111(9 = 66430(10 = 7*9490 111111(2 = 63(10 = 7*9 111111(16 = 1118481(10 = 7*159783 ¿Sabías que si el número N es compuesto (o primo) es siempre divisor de un número expresado de esta forma: 1111…00000…? Esta propiedad es independiente de la base, salvo el número de unos y ceros. Por ejemplo: 10 111111000(10 = 14*7936500 111111000(3 = 9828(10 =14*702 1111111000000(8 = 78536507392(10 = 14*5609750528 111111111000(2 = 4088(10 = 14*292 Intentemos demostrar ambas propiedades. Es más sencillo demostrar antes la segunda: Todo número natural N es siempre divisor de un número expresado de esta forma: 1111…00000… Sea el número N. Basta considerar el conjunto de N+1 repunits 1, 11, 111, 1111,…111… (N+1)...11. Si los dividimos todos entre N, como sólo existen N restos posibles habrá dos repunits que produzcan el mismo resto. Basta restarlos, con lo que obtendremos un múltiplo N, que tendrá la forma pedida: 1111…000… A partir de ella podemos demostrar la primera: Todo número natural primo distinto de 2 y 5 es siempre divisor de un repunit 11111….1, pues según la propiedad anterior, el número primo N tendrá un múltiplo de la forma 1111…000… = 1111…*10*10*10… Al ser primo distinto de 2 y 5, no puede dividir a 10, luego dividirá a 1111… que es el repunit pedido. ¿Te quieres complicar un poco? Por el Teorema de Fermat, si N es primo se verificará que 10N-1-1 =9999… (N-1)…999 = 9*1111… (N-1)…111 es múltiplo de N. Si N no es 3, dividirá a 1111… (N-1)…111, y si lo es, basta elegir un repunit con un número de unos múltiplo de 3. Ta