Actualizado el 18 de Octubre del 2017 (Publicado el 9 de Julio del 2017)
896 visualizaciones desde el 9 de Julio del 2017
2,1 MB
144 paginas
Creado hace 11a (19/09/2012)
Números y hoja de cálculo IV
Curso 2011-2012
Colección Hojamat.es
© Antonio Roldán Martínez
http://www.hojamat.es
1
PRESENTACIÓN
Llegamos al cuarto tomo de la colección y a partir del mismo sólo se
ofrecerán este y
los siguientes como documentos en PDF
descargables. La edición en papel suponía trabajo extra que no
compensaba
labor de divulgación que
pretendemos basta con el ofrecimiento del documento descargable.
lo suficiente. Para
la
El orden de las entradas recogidas en este tomo es el cronológico
dentro de cada capítulo. De esta forma nos garantizamos una revisión
realizada cuando han transcurrido unos meses, con lo que se amplían
las posibilidades de nuevas ideas complementarias.
Como en ocasiones anteriores, los números primos y los divisores son
los conceptos que más nos han inspirado en la confección de las
entradas, aunque en este curso se han desarrollado con cierto detalle
las funciones multiplicativas y los conceptos derivados del algoritmo
extendido de Euclides.
A partir de este curso disponemos ya de suficiente material para iniciar
publicaciones temáticas, cuya presentación se iniciará en el otoño de
2012. Mientras se mantenga el blog Números y hoja de cálculo estos
documentos permanecerán actualizados a
través de sucesivas
ediciones.
2
CONTENIDO
Presentación............................................................................................. 2
Contenido ................................................................................................. 3
Primos inagotables .................................................................................. 5
Los huecos de un primo ......................................................................... 5
Distancia binaria entre primos ................................................................ 7
Al complicar se simplifica ......................................................................11
Pasito a pasito hacia la complejidad ......................................................17
Números de Aquiles ..............................................................................23
Primorial................................................................................................30
Subida a ritmo de M.C.M .......................................................................34
Damos vueltas a primos y al 18 .............................................................38
Va a resultar que eres primo .................................................................43
Cuestiones modulares ............................................................................46
La exponenciación modular ...................................................................46
El algoritmo extendido de Euclides ........................................................49
La ecuación Ax=B (mod m) ...................................................................53
El anillo Zm ............................................................................................56
El teorema chino de los restos...............................................................60
La función indicatriz de Euler (n) .........................................................64
Combinar y contar ...................................................................................69
Suma de los elementos de todos los subconjuntos ................................69
Lo tengo repe ........................................................................................72
La hoja echa humo ..................................................................................82
Obtención de la lista de divisores ..........................................................82
El algoritmo de Moessner ......................................................................85
3
Simulación para vagos ..........................................................................87
Funciones recursivas en las hojas de cálculo ........................................90
A propósito de Ormiston ........................................................................95
el problema de Hamming ....................................................................100
Funciones multiplicativas .....................................................................105
Definiciones ........................................................................................105
El conjunto de los divisores .................................................................109
Emparedado de cuadrados .................................................................114
Cuadrados divisores de N ...................................................................124
Ideas para el aula ..................................................................................128
Baldosas, pasos y farolas ....................................................................128
Alfabeto Braille ....................................................................................131
Terrones de azúcar .............................................................................136
Miscelánea .............................................................................................137
Mi pequeño homenaje al 11/11/11 ......................................................137
No hay que dejarse llevar por la admiración ........................................137
Soluciones .............................................................................................140
Primos inagotables ..............................................................................140
La hoja echa humo ..............................................................................142
Funciones multiplicativas .....................................................................142
Ideas ara el aula..................................................................................144
4
PRIMOS INAGOT ABLES
L O S H U EC O S D E U N P R I MO
Los cinco primos de Fermat conocidos, 3, 5, 17, 257 y 65537, tienen en
común que su representación en el sistema de numeración binario está
formada por un 1, un conjunto de ceros y al final otro 1. Son números
con un gran hueco entre dos unidades. Por ejemplo el 65537 está
representado por 10000000000000001. Sólo se conocen esos cinco
primos con esa estructura. Es fácil razonar que los de Fermat son los
únicos posibles, pues su expresión ha de ser del tipo 2n+1
¿Habrá primos con otras estructuras posibles en sus huecos entre
unos?
Podíamos buscar los que estuvieran formados por dos intervalos
iguales, como 100010001. ¿Habrá alguno? Sí, pero sólo se conocen
tres: 7, 73 y 262657. Puedes
leer algunos detalles en
http://oeis.org/A051154. Su expresión sería del tipo 22n+2n+1. Golomb
dedujo que para que sean primos n ha de ser potencia de 3. Puedes también
consultar http://www.alpertron.com.ar/MODFERM.HTM
primos
con
estructuras
si
buscáramos
a
¿Y
1000100010001?, con cuatro unos? Pues yo no lo haría. Seguro que
son compuestos. En realidad no debes probar con ningún ejemplo que
contenga un número par de unos situados de forma equidistante. No
hemos encontrado más ejemplos con un número impar de huecos
similares.
similares
Podemos renunciar a la periodicidad de los ceros. Pueden existir
primos con dos unos iniciales y el resto ceros hasta el último uno. Los
hemos buscado con hoja de cálculo y aparecieron 7, 13, 97, 193, 769,
12289, 786433, 3221225473, 206158430209,…El primero, 7, sólo
5
presenta los unos, 111, pero los demás son espectaculares, como
206158430209 con expresión
11000000000000000000000000000000000001.
Puedes ver los siguientes en http://oeis.org/A039687
El problema inverso de encontrar estructuras del tipo 1000000011 ya
está también resuelto y publicado en http://oeis.org/A057733
Podíamos buscar otros con dos unos al principio y al final, pero me
temo que sería inútil ¿no?. Ahí no hay primos.
Otras estructuras
Los siguientes primos poseen sus huecos en magnitud creciente:
3
11
11
1011
68990043211
1000000010000001000001000010001001011
36064050381096011 10000000001000000001000000010000001000001000010001001011
Con la estructura simétrica de conjuntos de ceros de longitud creciente
de derecha a izquierda, al menos con hoja de cálculo, sólo he
encontrado el 3 y el 13.
A estos otros les llamo “primos piano”:
26417
422657
110011100110001
1100111001100000001
108199937
110011100110000000000000001
Si deseas saber el porqué, mira el teclado de un piano.
Este otro es similar, con otra visión del “teclado”:
989721526273 es un primo con estos huecos:
1110011001110000000000000000000000000001
Y estos otros son más simétricos:
6
134323393
1000000000011001110011000001
137442334721
10000000000000001100111001100000000001
¿Deseas investigar otras estructuras? Puedes probar con
Números 2-repunits (o repunos o repitunos): No tienen huecos en el
sistema binario. Busca por ahí cuáles son primos, y verás qué
escasez.¡Son los primos de Mersenne!
Números de Carol: Sólo tienen un hueco, pero bien situado. Tampoco
hay muchos
en
http://oeis.org/A091516
puedes
primos
ver
entre
ellos.
Los
Números de Thabit: Los números del tipo 3.2n-1 se llaman números
de Thabit y en el sistema de numeración binario vienen representados
por las cifras 1, 0 seguidas de la cifra 1 repetida hasta terminar la
expresión. Por ejemplo, el número de Thabit 786431 v
Comentarios de: Números y hoja de cálculo IV (0)
No hay comentarios