PDF de programación - Números y formas

Números y formas



Edición 2016

Colección Hojamat.es

© Antonio Roldán Martínez

http://www.hojamat.es



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PRESENT ACIÓN


los pitagóricos hemos usado

Desde
figuras poligonales para
representar ciertos números, pero lo que comenzó siendo una nueva
forma de percibirlos se convirtió pronto en un manantial de nuevas
cuestiones. Puedes pensar en ellos sin tener en cuenta su origen
geométrico. De hecho, muchas cuestiones actuales y futuras que se
traten en nuestro blog se basarán más en sus definiciones aritméticas.



Este es uno de los capítulos de las Matemáticas en los que se aprecia
mejor el pensamiento que no busca la utilidad, sino la belleza ¿Para
qué sirve un número pentagonal? Entre todas las clases que
estudiaremos, los números cuadrados son los que permiten más
cuestiones y actividades. En esta edición les hemos dedicado, al igual
que a los triangulares, un capítulo aparte.



Como advertiremos en todos los documentos de esta colección, el
material presentado no contiene desarrollos sistemáticos, ni pretende
ser un manual teórico. En cada tema se incluirán cuestiones curiosas o
relacionadas con las hojas de cálculo, con la única pretensión de
explicar algunos conceptos de forma amena.



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T AB L A D E C O N T E N I D O


Presentación ..................................................................................................2

Cuadrados .....................................................................................................5

Eliminar bolas en un cuadrado ...................................................................5

Curiosidades bien fundamentadas .............................................................9

Sumas de los primeros cuadrados .......................................................... 11

Cuadrados en progresión aritmética ....................................................... 12

La mitad, cuadrado, el tercio, cubo ......................................................... 15

Una exploración matemática ................................................................... 15

El número 30500 ..................................................................................... 17

Piezas para cuadrados ............................................................................ 19

Carnaval de cuadrados ............................................................................ 24

Resultados curiosos de la suma de divisores cuadrados ....................... 28

Igualdad de sumas de cuadrados con un escalón .................................. 34

Triangulares ................................................................................................ 38

Jugamos con los triangulares .................................................................. 38

Triangulares alojados .............................................................................. 39

Carnaval de triangulares .......................................................................... 43

Triangulares de lado par .......................................................................... 48

Cuadrados y triangulares .......................................................................... 52

Cuadrados vecinos de triangulares ......................................................... 52

Triangulares y cuadrados con piezas ...................................................... 58

Números especiales que son un producto especial ................................ 63

Equilibrados entre semejantes ................................................................ 83

Damos vueltas a los triangulares cuadrados ........................................... 87

Poligonales ............................................................................................... 103

¿Eres un poligonal? ............................................................................... 103

Cubos y gnomones ................................................................................ 108

Pitágoras y sus ternas ............................................................................. 113

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El sueño de Lewis Carroll ...................................................................... 113

Oblongos y pitagóricos .......................................................................... 114

Viaje de ida y vuelta a la Geometría ...................................................... 120

Centrados y pitagóricos ......................................................................... 123

Cuadrados con trozos consecutivos ...................................................... 125

Diferencia entre catetos ......................................................................... 126

Doblado pitagórico ................................................................................. 128

¿En cuántas sumas de cuadrados? ...................................................... 129

Espiral de números ................................................................................ 138

Números especiales ................................................................................ 142

Autonúmeros o números colombianos .................................................. 142

Soluciones ................................................................................................ 154

Cuadrados ............................................................................................. 154

Pitágoras y sus ternas ........................................................................... 159



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CU ADR ADO S


La teoría de los números figurados es de las más antiguas de la
Historia de las Matemáticas. En cualquier página web o manual de
carácter general se puede consultar lo más importante.

En Hojamat.es se pueden estudiar los documentos

http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/teoria/teorarit.htm

y

http://hojamat.es/parra/prop2011.pdf

Entre todos ellos, los cuadrados y triangulares son los más estudiados.



E L I M I N A R B OL A S E N U N C U A D R A D O


Forma un cuadrado con bolas, situándolas en filas y columnas, las que
quieras. Después elimina 10 bolas e intenta reorganizar el resto hasta
formar otro cuadrado más pequeño, y verás que
resulta imposible, cualquiera que sea el lado del
cuadrado que has formado.

Prueba entonces a quitar sólo 6 bolas, y
observarás que tampoco puedes formar un
cuadrado con las restantes. Con otros números

sí se puede, dependiendo del lado del cuadrado.

¿Qué tienen de particular el 6 y el 10 para que ocurra esto?

Si 10 es la diferencia entre dos cuadrados n2 y m2, se tendrá que
verificar que

10=(m+n)(m-n)

Pero m+n y m-n tienen la misma paridad. Esto obliga a que el número
10 también se descomponga en dos factores, ambos pares o ambos
impares, pero eso es imposible, debido a que sólo se pueden

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considerar 10*1 y 5*2, que no tienen la misma paridad. Lo mismo
ocurre con el 6.

En general, todos los números de la forma 2(2k+1) con k entero, no
serán idóneos para ser diferencia de cuadrados. Expresado de otra
forma, son números múltiplos de 2 pero no de 4.

los

naturales

podemos

números

como
Todos
N=2m.ap1.bp2…zpn, siendo a,b..z primos y m eventualmente cero. El
exponente m nos permite distinguir tres casos:

escribirlos

(a) m=1

El número N no se puede descomponer en dos factores ambos pares
ni ambos impares. Es el caso de 2,6,10…que acabamos de estudiar

(b) m=0

El número es impar, y presentará tantas soluciones como la mitad del
su número de divisores. Por ejemplo 105= 532-522 = 192-162 = 132-82 =
112-42
los pares de divisores 105=
105*1=35*3=21*5=15*7. Si el número es primo admitirá una sola
diferencia de cuadrados.

que corresponden a

(c) m>1

2m se puede descomponer en dos factores pares de tantas maneras
como indique la parte entera de (N-1)/2. Así, si m=3 sólo se admite una
descomposición, como 8 = 32-12 y si m=7 128= 332-312 = 332-312 =
182-142 . Combinando estos casos con los producidos por los factores
impares obtendremos todas las soluciones.

Se ve, pues que el número de soluciones está relacionado de cierta
forma con el de divisores, aunque pueden discrepar bastante.

Otra idea: Ser diferencia de cuadrados equivale a poder construir un
gnomon con sus unidades. En las siguientes imágenes podemos ver
uno con a par y otro con a impar.



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Podemos traducir esta figura mediante una propiedad: Los números
que admiten una expresión como diferemcia de cuadrados
también se pueden representar como una suma de impares
consecutivos.

Número de descomposiciones

Entre los números menores que 1000 hay uno que es igual a diez
diferencias distintas de cuadrados ¿Cuál?

Para encontrarlo acudiremos a la hoja de cálculo:

El número menor que 1000 que se puede representar como diez
diferencias de cuadrados es el 960.

En la siguiente tabla se han inluido todas las formas de descomponer
960 en dos factores. Después se han seleccionado los de la misma
paridad, y mediante suma y diferencia se han obtenido A y B tales que
960 = A2 – B2



Pero, ¿cómo encontramos el 960? Aparte de un análisis bastante
pesado de los factores de los números menores que 1000 podemos
usar este código en Basic:



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Factores de 960ParidadABComprobación24800241239960332014240012211896051921616008377960812006456960109605343960128004634960156411660038229602048034149602440032896030320311960Igual paridad10

Sub numerodiferencias

Dim i,j