PDF de programación - Sucesiones

Sucesiones



Edición 2016

Colección Hojamat.es

© Antonio Roldán Martínez

http://www.hojamat.es



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P R E S E N T A C I Ó N



De forma paulatina las sucesiones han ido incrementando su presencia
en el blog. A ello ha contribuido la colaboración continuada con OEIS
(The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)), que ha
sacado a la luz muchas cuestiones que no se expresarían bien sin el
uso de las sucesiones.



Para dicha colaboración ha sido muy útil el uso del lenguaje PARI, que
ha aportado mayor seguridad en los resultados al permitir comprobar
los propios de las hojas de cálculo. Por ello, aunque se aparte un poco
del contenido general de estos documentos, se incluirán códigos de
dicho lenguaje, que, por otra parte, son relativamente fáciles de
comprender.



La novedad de esta edición es la inclusión de temas sobre sucesiones
curiosas, muchas de ellas presentadas en su día por N.J.A. Sloane.
También se han incluido nuevas sucesiones recurrentes.



Como advertiremos en todos los documentos de esta colección, el
material presentado no contiene desarrollos sistemáticos, ni pretende
ser un manual teórico. En cada tema se incluirán cuestiones curiosas o
relacionadas con las hojas de cálculo, con la única pretensión de
explicar algunos conceptos de forma amena



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T A B L A D E C O N T E N I D O



Presentación ..................................................................................................2

Sucesiones recurrentes ...............................................................................5

Recurrencias lineales de segundo orden ...................................................5

Sucesión de Jacobsthal ........................................................................... 11

Números de Pell ...................................................................................... 16

Números de Lucas ................................................................................... 21

Soluciones enteras .................................................................................. 27

Sucesión de Perrin .................................................................................. 33

Sucesión de las vacas de Narayana ....................................................... 40

Números “Tribonacci” .............................................................................. 45

Sucesión de Padovan .............................................................................. 50

Sucesiones curiosas ................................................................................. 58

Sucesión de Recamán ............................................................................. 58

Sucesión de Golomb ............................................................................... 67

Números belgas ....................................................................................... 73

Sucesión de Mian-Chowla ....................................................................... 79

La permutación Yellowstone.................................................................... 85

Colaboración con OEIS ............................................................................. 93

Primos y semiprimos ................................................................................. 93

Primos cercanos ................................................................................... 93

Suma y media de primos consecutivos ................................................. 103

Sumas con el primo más cercano ......................................................... 107

Interprimos ............................................................................................. 109

Cifras ...................................................................................................... 110

Los primos y sus números de orden................................................... 111

Números omirps .................................................................................. 113

Cifras de primos próximos .................................................................. 115

Otras coincidencias en cifras .............................................................. 117

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Concatenaciones ................................................................................ 121

Divisores ................................................................................................ 124

Particiones ............................................................................................. 130

Funciones .............................................................................................. 132

Carnaval de triangulares ........................................................................ 137

Carnaval de cuadrados .......................................................................... 144

Sumas de divisores cuadrados ........................................................... 144



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S U C E S I O N E S R E C U R R E N T E S



R E C U R R E N C I A S L I N E A L E S D E S E G U N D O O R D E N



En este blog no hemos tratado mucho las relaciones de recurrencia.
Iniciamos ahora el estudio de un caso particular de las mismas, más
por los casos curiosos que presenta que por su estudio teórico, que se
puede desarrollar en otras publicaciones

(http://mathworld.wolfram.com/LinearRecurrenceEquation.html)

Llamaremos relación de recurrencia lineal de segundo orden a la que
existe entre los términos de una sucesión si reviste esta forma:

xn=a1xn-1+a2xn-2+a3

Interpretamos que cada término a partir uno de ellos equivale al
anterior multiplicado por un número más el anterior del anterior por otro
y sumado un tercer número. Como hemos indicado que nuestras
pretensiones no son teóricas, nos dedicaremos tan sólo al caso en el
que a3=0, es decir, a relaciones
lineales de segundo orden
homogéneas, pues en ellas encontraremos bastantes hechos curiosos.

Lo normal es definir directamente los primeros términos, llamados
valores iniciales, y después dar los coeficientes de la recurrencia, que
supondremos constantes. Por ejemplo, en la sucesión de Fibonacci,
definimos directamente x0=1, x1=1 y usamos los coeficientes a1=1 y
a2=1, con lo que la relación de recurrencia vendrá dada por xn=xn-1+xn-2,
constituyendo una recurrencia lineal de segundo orden homogénea, y
entrando así en nuestro estudio.

Una sucesión definida por recurrencia vendrá dada así por el conjunto
de valores iniciales y el de coeficientes, siendo conveniente fijar
también el número de términos. Así se concreta, por ejemplo, en
Mathematica, la función LinearRecurrence, y así lo trataremos más
adelante.

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Estas sucesiones reciben el nombre de “sucesiones de Horadam” y se
caracterizan por estar determinadas por esos cuatro parámetros dentro
de una recurrencia de segundo orden homogénea. Así, la sucesión de
Fibonacci es Horadam(0,1,1,1), porque los parámetros se escriben en
orden inverso a como lo hacemos aquí. Sólo estudiaremos algunos
casos, pues el tema es muy amplio y con muchas sucesiones
interesantes.

Generación con hoja de cálculo

Aprovechando la recursividad del Basic de las hojas de cálculo se
pueden definir funciones que devuelvan el valor de x(n). El problema
que tienen es que funcionan mientras no se llene la pila de datos

(ver

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/03/funciones-recursivas-en-
las-hojas-de.html).

En este caso podrían tener esta estructura:

Public Function recurre(c1, c2, d1, d2, n)
Dim r
If n = 0 Then
r = d1
ElseIf n = 1 Then
r = d2
Else
r = c1 * recurre(c1, c2, d1, d2, n - 1) + c2 * recurre(c1, c2, d1, d2, n - 2)
End If
recurre = r
End Function

La tienes implementada en la hoja recurre_lineal, que ofrecemos en
http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#rec
urre2

Para evitar el problema del llenado de la pila de recursividad, hemos
preparado un generador muy simple de estas sucesiones, en la hoja
mencionada, con el que practicaremos algunos conceptos y que no
usa la recursividad para evitar ese problema:

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Basta estudiar la imagen para entender que hay que escribir el número
de términos, los coeficientes, aquí llamados A y B y los valores
iniciales. Para fijar ideas, generaremos los números de Pell, dados por
la ecuación xn=2xn-1+xn-2 con las condiciones iniciales x0=0 y x1=1.
Todos ellos se pueden identificar en la imagen:

Con el botón Ver sucesión generamos los 20 primeros términos, que
están ya publicados en http://oeis.org/A000129 y se nos indica que son
los denominadores del desarrollo de los convergentes a raíz de 2
mediante fracciones continuas.



Tenemos así una herramienta muy simple para
inventarnos
sucesiones, independientemente de su importancia matemática. Por
ejemplo, llamaremos sucesión “sorpresa” a la engendrada mediante
A=2, B=-1, X0=0, X1=1. Te dejamos que averigües su desarrollo y en
qué consiste la sorpresa.

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CoeficientesNúmero términosA2B1N 20Valores inicialesX00x11Sucesión012512297016940898523785741138603346180782195025470832113668927442106625109

Ecuación característica

Existe un procedimiento simple para intentar expresar X(n) en función
de n en sucesiones definidas por recurrencias de segundo orden: la
ecuación característica. Puedes estudiarla en cualquier manual o
página web específic