PDF de programación - Capítulo 2 - Conjuntos, Aplicaciones y Relaciones

Capítulo 2

Conjuntos, Aplicaciones y
Relaciones

2.1. Conjuntos

Se partirá, en esta introducción, de la existencia intuitiva de unos entes

matemáticos que se denominarán conjuntos.

Definición 3. Un conjunto es una colección de objetos bien definidos y dife-
renciables entre sí. A los objetos que constituyen un conjunto se les denomina
elementos del mismo.

Los conjuntos se designan, habitualmente, por letras latinas mayúsculas:
A, B, . . . y los elementos por letras latinas minúsculas: a, b, . . .; si a es un
elemento del conjunto A, se dirá que a pertenece al conjunto A, y se escribirá
a ∈ A. En caso contrario, se dirá que el elemento no pertenece al conjunto y
se denotará a 6∈ A.1

Al conjunto que carece de elementos se le denomina conjunto vacío, y se

denota por ∅ o por { }.

Ejemplo 17. La proposición “Todos los alumnos que aprobarán Matemáticas
en junio” no define adecuadamente un conjunto puesto que, dado un alumno,
no se puede afirmar de antemano si aprobará o no en junio.

Un conjunto puede ser definido por extensión, enumerando todos y cada
uno de sus elementos, o por compresión, diciendo cuál es la propiedad que
los caracteriza.

1Un conjunto A está bien definido cuando, dado un elemento cualquiera x, es cierta

una y sólo una, de las proposiciones x ∈ A y x 6∈ A.

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CAPÍTULO 2. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

B

A

Figura 2.1: Inclusión de Conjuntos, A ⊂ B.

Ejemplo 18. Algunos conjuntos definidos por comprensión:

A = {x ∈ Z ; x2 ≤ 16}

B = {x ∈ N ; x divide a 20}

∅ = { }

Ejemplo 19. Los mismos conjuntos definidos por extensión:

A = {0, 1, 2, 3, 4, −1, −2, −3, −4}

B = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Como se aprecia en este ejemplo, se utilizan las llaves “{” y “}” para

delimitar los elementos que componen un conjunto.

2.1.1.

Inclusión

Definición 4. Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es un subconjunto
de B, y se expresa A ⊆ B, cuando todos los elementos de A son también
elementos de B, es decir:

∀x [x ∈ A =⇒ x ∈ B]

se dirá que A está incluído o contenido en B. Cuando A no está contenido en
B, se escribirá A * B (lo cual quiere decir que existe a ∈ A tal que a 6∈ B).
Cualquier conjunto A, siempre admite como subconjuntos al conjunto
vacío ∅ y a A. Estos se denominan subconjuntos impropios o triviales. En
otro caso, se dice que B es un subconjunto propio de A.

Si B ⊆ A y B 6= A, se dice que B está contenido estrictamente en A y se

denota B ⊂ A.

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2.1. CONJUNTOS

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En la figura 2.1 se muestra, mediante Diagramas de Venn,2 un conjunto

A subconjunto de otro B.

Definición 5. El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado
A se denomina partes de A o conjunto potencia, y se denota P(A) o
2A.

Ejemplo 20. Se exponen a continuación dos conjuntos sencillos, y sus partes:

Si A = {a, b} ⇒ P(A) = ∅, {a}, {b}, A.
Si A = {a, b, c} ⇒ P(A) = ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c, A}.

Debe quedar claro que si A y B son dos conjuntos cualesquiera, se verifica

que

B ∈ P(A) ⇔ B ⊆ A

Ejemplo 21. Las afirmaciones I), III), IV ), V ), V III), IX) y XI) son ver-
daderas.

i) ∅ ⊆ ∅.

ii) ∅ ∈ ∅

iii) ∅ ⊆ {∅}

iv) ∅ ∈ {∅}

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v) {a, b} ⊆ {a, b, c, {a, b, c}}

vi) {a, b} ∈ {a, b, c, {a, b, c}}

vii) {a, ∅} ⊆ {a, {a, ∅}}

viii) {a, ∅} ∈ {a, {a, ∅}}

ix) N ⊆ Z

x) N ∈ Z

xi) {2} ∈ P(Z)

xii) {2} ⊆ P(Z)

2Los Diagramas de Venn fueron introducidos en 1880 por John Venn (1834–1923).
Básicamente, se trata de una colección de curvas simples y cerradas, dibujadas en el plano.
Son muy útiles para visualizar relaciones entre conjuntos.

26

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

U

A

Figura 2.2: Complementario de A respecto a U.

Definición 6. Un conjunto A es finito si tiene un número finito de elemen-
tos; este número se llama cardinal y se denota |A| o #A. En caso contrario,
se dice que A es no finito.

Es fácil comprobar que si A es un conjunto finito, tambien lo es P(A)3 y,

además, |P(A)| = 2|A|.

Definición 7. Dos conjuntos A y B son iguales si, simultáneamente, se
verifica A ⊆ B y B ⊆ A, es decir:

A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A

2.2. Operaciones entre conjuntos

2.2.1. Complementación

Definición 8. Dado un conjunto U 4 y un subconjunto A ⊆ U se llama com-
plementario del conjunto A, y se denota5 ¯A, al subconjunto de U formado
por todos los elementos que no pertenecen a A, es decir:

¯A = {x ∈ U ; x 6∈ A}

Obsérvese que la propiedad que determina al complementario de A es la

negación de la propiedad que determina a los elementos de A.

3Si A = {a1, a2, . . . , an} tiene n elementos, a cada uno de sus subconjuntos B le aso-
ciamos una cadena cB de 0′s y 1′s de longitud n. Cada cadena binaria tendrá un 1 en la
posición i-ésima (i = 1, . . . , n) si, y sólo si, el elemento ai ∈ B, con lo que el cardinal de
P(A) es el número de cadenas binarias de longitud n, es decir 2n.

4Cuando, en un contexto determinado, se consideran siempre conjuntos que son sub-
conjuntos de uno dado U , a dicho conjunto de referencia U se le denomina conjunto
universal o universo

5Puede usarse tambien la notación A′ o CU (A)

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2.2. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

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A

B

A

B

Figura 2.3: Unión de conjuntos:
A ∪ B.

Figura 2.4: Intersección de con-
juntos: A ∩ B.

En la figura 2.2 en la página anterior se muestra, en la zona rayada, el

conjunto complementario de A respecto a U.

Propiedades 1. Dado un conjunto U y dos subconjuntos suyos A y B, se
verifican las siguientes propiedades:

i) ¯∅ = U.

ii) ¯U = ∅.
iii) ¯¯A = A.

iv) A ⊆ B ⇔ ¯B ⊆ ¯A.

2.2.2. Unión

Definición 9. Dados dos conjuntos A y B se llama unión de A y B, y se
representa A ∪ B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A
o a B:

A ∪ B = {x ; x ∈ A ∨ x ∈ B}

En la figura 2.3, la zona rayada reprsenta el conjunto A ∪ B.

Propiedades 2. Dados los conjuntos A, B y C, subconjuntos de U, la unión
de conjuntos verifica las siguientes propiedades:

i) A ⊆ (A ∪ B) , B ⊆ (A ∪ B).

ii) A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B.

iii) A ⊆ C ∧ B ⊆ C ⇔ (A ∪ B) ⊆ C.

iv) A ∪ A = A (Propiedad Idempotente).

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CAPÍTULO 2. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

v) A ∪ B = B ∪ A (Propiedad Conmutativa).

vi) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (Propiedad Asociativa).

vii) A ∪ U = U

viii) A ∪ ∅ = A.

2.2.3.

Intersección

Definición 10. Dados dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B,
y se representa A ∩ B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen
a A y a B, es decir:

A ∩ B = {x ; x ∈ A ∧ x ∈ B}

De la definición se sigue que un elemento pertenece a la intersección si
pertenece a los dos conjuntos. En la figura 2.4 en la página anterior la zona
rayada indica el conjunto intersección A ∩ B.

Propiedades 3. Dados tres conjuntos A,B y C, subconjuntos de U, la in-
tersección verifica las siguientes propiedades:

i) (A ∩ B) ⊆ A,

(A ∩ B) ⊆ B.

ii) A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A.

iii) A ⊆ C ⇒ (A ∩ B) ⊆ C.6

iv) C ⊆ A ∧ C ⊆ B ⇔ C ⊆ (A ∩ B).

v) A ∩ A = A (Propiedad Idempotente).

vi) A ∩ B = B ∩ A (Propiedad Conmutativa).

vii) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Propiedad Asociativa).

viii) A ∩ U = A (U es el conjunto universal).

ix) A ∩ ∅ = ∅.

Propiedades 4. Con la notación anterior, la unión y la intersección verifi-
can además las siguientes propiedades conjuntas:

6Nótese que puede suceder que A ∩ B ⊆ C y, sin embargo, A * C y B * C. Es el caso

de A = {a, x}, B = {b, x} y C = {x, y}.

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2.2. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

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A

A

B

C

B

C

Figura 2.5: A ∪ (B ∩ C).

Figura 2.6: A ∩ (B ∪ C).

i) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Ver figura 2.5).

ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Ver figura 2.6).

iii) A ∪ ¯A = U.

iv) A ∩ ¯A = ∅.

v) (A ∪ B) = ¯A ∩ ¯B (Primera Ley de De Morgan).

vi) (A ∩ B) = ¯A ∪ ¯B (Segunda Ley de De Morgan).

Como consecuencia, si A, B ⊆ U son dos subconjuntos de U, se verifica

que

A = A ∩ U = A ∩ (B ∪ ¯B) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ ¯B)

Definición 11. Si dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, se
dice que son disjuntos, es decir:

A y B son disjuntos ⇔ A ∩ B = ∅

2.2.4. Diferencia

Definición 12. Dados dos conjuntos A y B se llama diferencia entre A y
B, y se representa A\B o A − B , al conjunto formado por los elementos de
A que no pertenecen a B:

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A\B = {x ∈ A ; x 6∈ B}

En la figura 2.7(a) en la página siguiente se muestran dos conjuntos A
y B y, representado por el área rayada, el conjunto A − B. Se aprecia con

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CAPÍTULO 2. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

A
A

B

A

B

(a) Diferencia: A\B.

(b) Diferencia simétrica: A ⊕ B.

Figura 2.7: Diferencia de conjuntos

facilidad que A\B y B\A son, en general, distintos. Por otro lado, es claro
que A\B = A ∩ ¯B

Además, se verifica que

A\B = A ⇔ A ⊆ ¯B ⇔ A ∩ B = ∅ ⇔ B ⊆ ¯A ⇔ B\A = B

Definición 13. Dados dos conjuntos A y B se llama diferencia simétrica
entre A y B, y se representa A ⊕ B, al conjunto de los elementos que están
en uno y, sólo uno de los conjuntos A o B.

A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

En la figura 2.7(b) se muestran dos conjuntos A y B, y en el área rayada,
el conjunto diferencia simétrica A ⊕ B. Es fácil ver que A ⊕ B = B ⊕ A y,
además:

A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A\B) ∪ (B\A)

Tambien se puede comprobar que A ⊕ ∅ = A, A ⊕ A = ∅, A ⊕ ¯A = U y

A ⊕ U = ¯A