PDF de programación - Partícula en un pozo de potencial simétrico unidimensional

Partícula en un pozo de potencial simétrico unidimensional

Pablo Santamaría
v0.1 (Mayo 2012)

Consideremos una partícula de masa m en un pozo de potencial simétrico unidimensional de ancho 2a y

profundidad V0 > 0:

(−V0,

|x| < a

0,

|x| > a

V (x) =

Para tal potencial, ilustrado en la fig. 1, la ecuación de Schrödinger muestra que la energía total E en el
rango −V0 < E < 0 sólo puede tomar un conjunto de valores discretos, los cuales son las raíces de un par de
ecuaciones trascendentes. Una de tales ecuaciones, correspondiente a los denominados estados pares, es:

en tanto que la segunda ecuación, correspondiente a los estados impares, es:

donde  = h
2π

.

En lo que sigue, sólo consideraremos la resolución de la ecuación (2). Definiendo las constantes positivas,

de dimensiones inversa de la longitud,

r −E
r −E

E + V0

E + V0



!
r2m(E + V0)
r2m(E + V0)

2

,

!

a



2

,

= tan

= − cot

a

r2m|E|

r−2mE
r2m(E + V0)

2 =

2

ρ =

k =

2

r2m(V0 − |E|)

2

=

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

la ecuación para la energía de los estados pares toma la forma

tan (ka) = ρ
k

.

Puesto que ρ y k dependen de E, esta ecuación sólo puede ser satisfecha para ciertos valores de E, lo cual
establece la cuantización de la energía. Para resolverla introduzcamos las cantidades adimensionales

ξ = ka,

η = ρa.

(7)

Figura 1. Pozo de potencial simétrico de ancho 2a y profundidad V0.

1

-Vo0-a0a Figura 2. Solución gráfica de la ecuación (12). En el caso ilustrado, existen tres
soluciones.

Entonces, la ecuación (6) toma la forma:

Nótese que ξ y η satisfacen la relación

donde

Se sigue entonces de la relación

γ =

1

cos2ξ

= 1 + tan2 ξ = 1 +

que la ecuación (8) es equivalente al sistema de ecuaciones:

tan ξ = η
ξ

ξ2 + η2 = γ2,

r2mV0
2 a ≡ k0a.
η
2
 |cos ξ| = ξ

γ
tan ξ > 0.

ξ

,

γ

2

ξ

,

=

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Gráficamente, sus soluciones se encuentran entre los puntos de intersección de la línea recta, de pendiente
1/γ, y los arcos cosenoidales, tal como se ilustra en la figura 2. Nótese que si γ ≤ π la ecuación tiene una
única raíz y que cuanto mayor es el valor de γ más soluciones tendrá la misma.

Así pues, para los parámetros del potencial dado, calculado el valor de γ según (10) y se se determinada
ξ como una solución numérica de (12), a continuación se obtiene el correspondiente valor de k = ξ/a, y,
finalmente, el valor de la energía buscado:

E = −V0 +

2
2m

k2.

(13)

El siguiente programa Fortran determina los niveles de energía de los estados pares de un electrón
(m = 9.109 × 10−28 gr) en pozo de potencial simétrico cuyos parámetros a y V0 son dados en la línea
de comandos. El programa hace uso, para resolver numericamente la ecuación planteada, de la subrutina
dfzero de la biblioteca de rutinas SLATEC a través de la interfaz genérica zero implementada en el módulo
slatec951. Nótese el uso de un módulo para compartir la variable gamma que contiene el valor γ calculado
en el programa principal con la function que define la ecuación del problema. El resultado del programa
es una lista de dos columnas, cada fila corresponde a un nivel de energía siendo la primer columna el valor
de E (expresado en erg) y, la segunda columna, su diferencia de energía respecto a −V0 (expresado en eV).

1Ver el apunte Una interfaz Fortran 95 genérica para las subrutinas fzero/dfzero de SLATEC.

2

010π/2π3π/22πγξ Código 1. Cálculo de la energía de los estados pares

MODULE common

! ------------------------------------------------------------------------
! Módulo para compartir el valor de la constante gamma definida por
! los parámetros del pozo de potencial y la masa de la partícula
! ------------------------------------------------------------------------
USE precision, WP => DP
IMPLICIT NONE
REAL(WP) :: gamma = 0.0_WP

END MODULE common

PROGRAM estados_pares

! ------------------------------------------------------------------------
! Calculo de la energía de los estados pares de un electrón en un pozo de
! potencial simétrico de profundidad V0 y ancho 2a.
! ------------------------------------------------------------------------
! Declaración de tipo e inicialización
! ------------------------------------------------------------------------
USE precision, WP => DP
USE common, ONLY : gamma
USE slatec95
IMPLICIT NONE
! Interface explícita de la función que
INTERFACE

define la ecuación a resolver

FUNCTION f(x)

IMPORT :: WP
REAL(WP) :: f
REAL(WP), INTENT(IN) :: x

END FUNCTION f

! Semiancho del pozo

! Energía

= 9.109e-28_WP
= 1.05457172e-27_WP
= 3.14159265358979_WP

END INTERFACE
! Parámetros del problema y constantes asociadas
REAL(WP), PARAMETER :: M
REAL(WP), PARAMETER :: HBAR
REAL(WP), PARAMETER :: PI
REAL(WP), PARAMETER :: EV2ERG = 1.60e-12_WP
!
REAL(WP) :: a
REAL(WP) :: v0 ! Altura del pozo
REAL(WP) :: e
REAL(WP) :: de ! Diferencia de energía respecto de -v0
! Tolerancia para los errores en el cálculo de numérico de las raíces
REAL(WP), PARAMETER :: TOL_REL = 5e-5_WP
REAL(WP), PARAMETER :: TOL_ABS = 0.0_WP
! Otras variables
REAL(WP) :: xl, xr
INTEGER
:: i, clave
CHARACTER(32) :: arg
! ------------------------------------------------------------------------
! Lectura de datos en la linea de comandos: semiancho y profundidad del pozo
! ------------------------------------------------------------------------
IF ( COMMAND_ARGUMENT_COUNT() /= 2) THEN

WRITE(*,*) ’Uso: estados_pares semiancho_a potencial_V0’
STOP

ENDIF
CALL GET_COMMAND_ARGUMENT(1,arg)
READ(arg,*) a
CALL GET_COMMAND_ARGUMENT(2,arg)
READ(arg,*) v0
! ------------------------------------------------------------------------
! Asignar el valor de gamma e imprimir parámetros del problema
! ------------------------------------------------------------------------
gamma = sqrt(2.0_WP*M*V0)*A/HBAR
WRITE(*,*) ’# a
WRITE(*,*) ’# V0

= ’, a
= ’, v0

3

= ’, m

E (ergios)

WRITE(*,*) ’# m
WRITE(*,*) ’# gamma = ’, gamma
WRITE(*,*) ’#
! ------------------------------------------------------------------------
! Para cada estado calcular la energía encontrando la raíz de la ecuación
! trascendente localizada dentro del intervalo (i*PI,PI/2+i*PI)
! ------------------------------------------------------------------------
i = 0
DO

Delta_E (eV)’

xl = i*PI
xr = i*PI + PI/2.0_WP
IF ( xl > gamma ) EXIT
CALL zero(f,xl,xr,xl,TOL_REL,TOL_ABS,clave)
IF (clave == 1) THEN

de = (HBAR*xl/a)**2/(2.0_WP*M)
e
WRITE(*,*) e, de/EV2ERG

= -v0+de

ENDIF
i = i+1

ENDDO
! ------------------------------------------------------------------------

END PROGRAM estados_pares

FUNCTION f(x)

! ------------------------------------------------------------------------
! Función que define la ecuación para determinar la energia
! de los estados pares
! ------------------------------------------------------------------------
USE precision, WP => DP
USE common, ONLY : gamma
IMPLICIT NONE
REAL(WP) :: f
REAL(WP), INTENT(IN) :: x
! ------------------------------------------------------------------------
f = ABS(COS(x)) - x/gamma
! ------------------------------------------------------------------------
RETURN

END FUNCTION f

La compilación del programa procede como sigue:

$ gfortran -Wall -o estados_pares precision.f90 slatec95.f90 \

estados_pares.f90 -lslatec

Consideremos, en particular, la determinación de los niveles de energías de los estados pares de un electrón

en el pozo de potencial simétrico dado por:

a = 1.95 × 10−8 cm
V0 = 1.024 × 10−10 erg = 64 eV.

La ejecución del programa conduce a los siguientes resultados:

$ ./estados_pares 1.95e-8 1.024e-10

1.94999999999999992E-008
1.02400000000000003E-010
9.10899999999999972E-028

7.9865426951238643

=
# a
=
# V0
# m
=
# gamma =
#
-9.92749246750197912E-011
-7.45652425517895173E-011
-2.75442120930199667E-011

E (ergios)

Delta_E (eV)

1.9531720781126287
17.396723405131556
46.784867441862524

4

Figura 3. Energías de los estados pares corres-
pondientes al potencial con a = 1.95×10−8 cm
y V0 = 1.024 × 10−10 erg = 64 eV.

Figura 4. Energías de los estados pares corres-
pondientes al potencial con a = 1.95×10−8 cm
y V0 = 5 × 10−10 erg = 312.5 eV.

Tenemos así, tres estados discretos de energía, los cuales son ilustrados en la fig. 3. Para el mismo semiancho
a pero con una mayor profundidad, a saber, V0 = 5× 10−10 erg, obtenemos seis niveles de energías, los cuales
son ilustrados en la figura 4.

5

0 10 20 30 40 50 60V0 = 64 eV 0 50 100 150 200 250 300V0 = 312.5 eV