PDF de programación - Resumen de Maxima

Resumen de Maxima

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1 Hoja de cálculo

• « ; » evalúa una expresión y devuelve el resultado. Por ejemplo 1+2/3;
• « $ » evalúa una expresión sin devolver el resultado. Por ejemplo a:2 $
• « % » es el valor del último cálculo efectuado
• ?
• example(expand) muestra ejemplos de utilización de la función expand
• kill(all) reinicia el sistema

plot2d muestra la ayuda sobre la función plot2d

2 Operadores

• + , - , * , / son las cuatro operaciones usuales
• «  » es el operador potencia. Por ejemplo, x 3 es x3
• « # » es la relación no igual (distinto)
• = , < , <= , > , >= son los operadores de comparación
• « : » es el operador de asignación. Por ejemplo a:3 asigna el valor 3 a la variable a.
• « := » es el operador para definir una función.
• « = » indica una ecuación en Maxima.
• « ! » es el factorial de un entero natural. Por ejemplo, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
• « . » es el producto de dos matrices.

3 Constantes

• %pi
es el número π ≈ 3, 14159
• %e
es el número e = exp(1) ≈ 2, 7183
• %i
es la unidad imaginaria
• true
es el valor lógico “verdadero”
• false es el valor lógico “falso”
• inf
• minf

es +∞
es −∞

√−1

4 Números reales

4.1 Funciones usuales

• abs(x) valor absoluto de x
• floor(x) parte entera de x
• round(x) redondeo entero de x
• sqrt(x) raiz cuadrada de x
• exp(x) es ex
• log(x) logaritmo neperiano de x
• Funciones trigonométricas: sin(x), cos(x), tan(x)
• Funciones trigonométricas inversas: asin(x), acos(x), atan(x)

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4.2 Valores aproximados

• float(x) es el valor decimal aproximado de x
• bfloat(x) es el valor aproximado de x en notación científica
• fpprec:20 fija la aproximación dada por bfloat a 20 cifras (por defecto es 16)

4.3 Trigonometría

• trigexpand(a) desarrolla la expresión trigonométrica a utilizando las fórmulas de la suma
de seno y coseno. Por ejemplo, trigexpand(cos(x+y)) devuelve cos x cos y − sin x sin y
• trigreduce(a) reduce un polinomio trigonométrico a. Por ejemplo, trigreduce(sin(x) 3)
devuelve 3 sin x−sin(3x)
• trigsimp(a) simplifica la expresión trigonométrica a usando la relación cos2 t + sin2 t = 1
• load(ntrig) carga el paquete, lo que permite obtener los valores exactos de sin x, cos x y

y sustituyendo tan t por sin t
cos t

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tan x cuando x es un múltiplo de π/10

5 Aritmética entera

Sean a y b dos enteros. Sean n y p dos números naturales.

mento es el cociente y el segundo el resto

• divide(a,b) es la división euclídea de a por b. El resultado es una lista cuyo primer ele-
• divisors(a) es el conjunto de los divisores positivos de a
• divsum(a) es la suma de los divisores positivos de a
• mod(a,b) es el resto de la división euclídea de a por b
• gcd(a,b) es el máximo común divisor de a y b
• load(functs) $ lcm(a,b) es el mínimo común múltiplo de a y b
• primep(p) se verifica si p es primo
• prev_prime(n) es el mayor primo menor que n
• next_prime(n) es el menor primo mayor que n
• factor(n) es la descomposición de n en producto de factores primos
• ifactors(n) es la lista de la descomposición de n en producto de factores primos
• random(n) es un entero natural, elegido al azar entre 0 y n − 1 cuando n ∈ N∗

• binomial(n,p) es el coeficiente binomialnp

6 Números complejos

Sea z un número complejo.

• realport(z) es la parte real de z
• imagport(z) es la parte imaginaria de z
• conjugate(z) es el conjugado de z
• abs(z) es el módulo de z
• carg(z) es el argumento de z (en ] − π, π])
• rectform(z) es la forma cartesiana de z
• polarform(z) es la forma polar de z

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7 Cálculo algebraico

Sean P y Q dos polinomios.

• R:x 4-4*x 2-5 define el polinomio R = X4 − 4X2 − 5
• expand(P) desarrolla P
• factor(P) factoriza P
• gfactor(P) factoriza P en C
• solve(P,x) raices complejas de P
• subst(4,x,P) valor de P cuando X = 4
• ratcoef(P,x 3) es el coeficiente del término en X3 de P
• divide(P,Q,x) es la lista formada por el cociente y el resto de la división de P por Q.
• portfrac(P/Q,x) descompone la función racional P/Q en elementos simples
• ratsimp(expr) simplifica la expresión racional expr (reduce a común denominador)
• subst(1/z,x,expr) sustituye x por 1/z en la expresión expr

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Funciones numéricas

8.1 Definición de funciones

• f(x):=x 2+2*x-3
• define(f(x),x 2+2*x-3)
• f:lambda([x],x 2+2*x-3)

8.2 Límites, tangentes y asíntotas

• limit(sin(x)/x,x,0) límite en 0
• limit(1/x,x,0,plus) límite en 0 por la derecha
• limit(1/x,x,0,minus) límite en 0 por la izquierda
• limit(1/x,x,inf) límite en +∞
• limit(x*exp(x),x,minf) límite en −∞
• taylor(f(x),x,a,n) desarrollo de Taylor de f respecto de x en el punto a con n términos

8.3 Derivación

• diff(f(x),x) es la derivada f (x)
• diff(f(x),x,2) es la derivada segunda f (x)
• define(g(x),diff(f(x),x)) define g(x) como f (x)
• taylor(f(x),x,a,1) es la ecuación reducida de la tangente a f en el punto (a, f (a))

8.4 Representación de funciones

• plot2d([f(x),g(x)],[x,x1,x2],[y,y1,y2]) representa las funciones f y g en la región

[x1, x2] × [y1, y2]

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8.5 Integrales

• integrate(f(x),x) es una primitiva de la función f

• integrate(f(x),x,a,b) es la integral b
• romberg(f(x),x,a,b) es una aproximación de la integral a

a f (x) dx

b f (x) dx

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Ecuaciones

9.1 Resolución de ecuaciones

• solve(x 3-2x 2+x=2,x) es la resolución exacta en C
• find_root(x 5=1+x,x,1,2) solución aproximada en [1, 2]
• allroots(x 5=1+x) valores aproximados de todas las soluciones (reales y complejas)

9.2 Sistemas lineales

Para resolver el sistema

3x + 2y = 1

x − y = 2

• S1:[3*x+2*y=1,x-y=2]
• solve(S1,[x,y])

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Listas

• L:makelist(k 2,k,0,9) asigna a L la lista con los cuadrados de los 10 primeros naturales
• L[2]:5 sustituye el segundo elemento de la lista L por 5
• length(L) longitud de la lista L.
• first(L) primer elemento de L
• second(L) segundo elemento de L
• last(L) último elemento de L
• member(x,L) se verifica si x pertenece a la lista L
• append([a,1,3],[2,7]) concatena las listas
• join(l,m) construye una lista, intercalando los elementos de l y m. Se obtiene la lista
• sort(L) ordenación de los elementos de L en orden creciente.
• map(f,L) aplicación de la función f a todos los elementos de L

[l[1], m[1], l[2], m[2], l[3], m[3], . . .].

11 Sumas y productos

11.1 Sumas finitas

• sum(1/k 2,k,1,10) es la suma de los inversos de los cuadrados de los enteros entre 1 y 10.

11.2 Productos finitos

• product(sqrt(k),k,1,10) es el producto de las raices cuadradas de los enteros entre 1 y 10.

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11.3 Sumas infinitas

• load(simplify_sum) $ sum(1/k 2,k,1,inf) $ simplify_sum(%)

calcula la suma de la serie ∑n

1
k2

k=1

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Programación

12.1 Sintaxis de un programa

• Sintaxis general

nombre(parámetros de entrada) := block([variables locales],

<instrucción 1>,
....
<instrucción n>,
/* -------Comentario------ */)

• Ejemplo simple de programa que suma dos números

suma(a,b) := block([c], c:a+b, return(c))

12.2 Estructura condicional

• Sintaxis

if (condición)

then (<instrucción1> , <instrucción2>)
else (<instrucción3> , <instrucción4>)

12.3 Estructuras iterativas

• Bucle For para escribir la tabla del 7:
• Bucle While para escribir la tabla del 7:

for k from 1 thru 10 do (print("7 veces",k,"igual a",7*k))

k:1 $ while k<11 do (print("7 veces",k,"igual a",7*k), k:k+1)

13 Matrices

13.1 Construcción de matrices

• Por extensión:

1 2

3
4 5
6
7 8 −9



A:matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,-9])

define la matriz A =

• Mediante una función:
define la matriz M ∈ M3,2(R) cuyos elementos son de la forma mi ,j = i + j.

M:genmatrix(lambda([i,j],i+j),3,2)

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13.2 Matrices particulares

• zeromatrix(5,3) es la matriz nula de orden 5 × 3
• ident(5) es la matriz identidad I5
• diag_matrix(a,b,c) es la matriz diagonal

a 0 0



0 b 0
0 0 c

13.3 Operaciones con matrices

• A+B es la suma de las matrices A y B
• 3*A es el producto de la matriz A por 3
• A.B es el producto de las matrices A y B
• A^^3 es la matriz A elevada al cubo
• invert(A) es la inversa de la matriz A
• transpose(A) es la traspuesta de la matriz A
• determinant(A) es el determinante de A