PDF de programación - Introducción a las matrices

Anexo A

Introducción a las Matrices

A.1. Definiciones y teoría básicas

Los elementos de las matrices que aparecen en este curso son números o funciones. Los

designaremos con el apelativo común de escalares.

Definición A.1 (Matrices) Una matriz A es un ordenamiento regular de escalares (recor-
demos, números o funciones):

 a11

A =



a12
a22

a21
...
am1 am2

. . . a1n
. . . a2n

...

. . . amn

Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que su tamaño es m por n (se escribe

m × n). Una matriz n × n se llama matriz cuadrada de orden n.

El término aij representa el elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna de una matriz
A de tamaño m× n; con ello, una matriz A, m× n, se escribe en la forma A = (aij) m× n, o
simplemente A = (aij). Una matriz A, 1× 1, es sólo un escalar (un número o una función).

193

194

Introducción a las Matrices

Definición A.2 (Igualdad de matrices) Dos matrices m × n, A y B, son iguales si
aij = bij para toda i y j.

Definición A.3 (Matriz columna) Una matriz columna X es cualquier matriz con n filas
y una columna:

 = (xi1) n × 1

 x11

x21
...
xn1

X =

Una matriz columna se llama también vector columna o simplemente vector.

Definición A.4 (Producto de matrices por escalares) Si k es un escalar y A una ma-
triz m× n, el producto de k por A es una nueva matriz que se define de la siguiente manera:

 ka11

ka21
...

kA =

 = (kaij) m × n,

ka12
ka22

. . . ka1n
. . . ak2n

...

en donde k es un escalar; es decir, un número o una función.

kam1 kam2

. . . akmn

Ejemplo 1. Productos de matrices por escalares



 10 −15
 =
 2 −3
 et
 =
 1−2


20 −5
30
1

4 −1
6

1
6

−2et
4et

4

a) 5

b) et

Es de notar que para toda matriz A, el producto kA es igual al producto Ak, por ejemplo,













e−3t

2
5

=

2e−3t
5e−3t

=

e−3t

2
5

Definición A.5 (Suma de matrices) La suma de dos matrices m × n, A y B, se define
como la matriz

A + B = (aij + bij) m × n

En otras palabras, para sumar dos matrices del mismo tamaño, se suman los elementos
correspondientes.

A.1 Definiciones y teoría básicas

195

Ejemplo 2. Suma de matrices

La suma de A =

4

A + B =

−1 + 7
4 + 3

 4

 =

3
0
6
−6 10 −5

 y B =

 es
 6

7 −8
9
3
5
1 −1
2
3 + (−8)
6 + 5
0 + 9
−6 + 1 10 + (−1) −5 + 2

 2 −1
 2 + 4
 se puede expresar como la suma de tres vectores columna:
 3t2 − 2et
 et
 −2
 0
 +
 3t2
 =

6 −5
7 11
9
−5 9 −3

 −2et

 t2 +

 t +

 =

 +

t2 + 7t

5t



t2
0

7t
5t

0
0

 3

1
0

 0

7
5

Ejemplo 3. Matriz expresada en forma de suma de matrices columna

La matriz

 3t2 − 2et

t2 + 7t

5t

La diferencia de dos matrices m× n se define en la forma acostumbrada: A− B = A + (−B),
en donde −B = (−1)B.

0
0



Definición A.6 (Multiplicación de matrices) Sea A una matriz con m filas y n colum-
nas, y B otra con n filas y p columnas. El producto AB se define como la siguiente matriz
m × p cuyo elemento en la posición (i, j) es

aikbkj. Es decir,

 a11

a12
a22

a21
...
am1 am2

. . . a1n
. . . a2n

...

. . . amn

AB =

 a11b11 + a12b21 + . . . + a1nb1n

n

a21b11 + a22b21 + . . . + a2nbn1
am1b11 + am2b21 + . . . + amnbn1

=

 b11

b21
...
bn1

n


k=1



=

aikbkj

k=1

(m × p)

 =

b12
b22

. . . b1p
. . . b2p

...

bn2

. . . bnp

a11b1p + a12b2p + . . . + a1nbnp
. . .
a21b1p + a22b2p + . . . + a2nbnp
. . .
. . . am1b1p + am2b2p + . . . + amnbnp

196

Introducción a las Matrices

Obsérvese con detenimiento la Definición A.6. El producto AB = C sólo está definido
cuando el número de columnas en la matriz A es igual al número de filas en B. El tamaño
del producto se puede determinar con

Am×nBn×p = Cm×p.

Se debe observar también que los elementos de la i-ésima fila de la matriz producto AB
se forman aplicando la definición del producto escalar de la i-ésima fila de A por cada una
de las columnas de B. En efecto, recordemos que dado dos vectores de n componentes:
a = (a1, a2, . . . , an) y b = (b1, b2, . . . , bn), el producto escalar de a por b se define como

a · b = a1b1 + a2b2 + ··· + anbn.

Así, el elemento de la posición (i, j) de AB es ai · bj, siendo ai la i-ésima fila de A y bj la
j-ésima columna de B.

Ejemplo 4. Multiplicación de matrices

En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa; esto es, AB 6= BA. En la
, mientras que en la parte b) el

parte a) del Ejémplo 4 obsérvese que BA =

30 53
48 82

producto BA no está definido porque en la Definición A.6 se pide que el número de filas de
la primera matriz, en este caso B, sea el mismo número que el número de columnas de la
segunda, en este caso A. Cosa que no sucede en el el caso b) del Ejemplo 4.

Nos interesa mucho el producto de una matriz cuadrada por un vector columna.

Ejemplo 5. Multiplicación de matrices y vectores El producto de una matriz A,
m × n, y un vector columna b, n × 1, es un vector ciolumna Ab de tamaño m × 1. Así, por
ejemplo

a) Si A =

b) Si A =





4 7
3 5

 5 8

1 0
2 7

AB =





,

9 −2
8
6

AB =

y B =



,

−4 −3

4 · 9 + 7 · 6 4 · (−2) + 7 · 8
3 · 9 + 5 · 6 3 · (−2) + 5 · 8


 y B =
 5 · (−4) + 8 · 2 5 · (−3) + 8 · 0


1 · (−4) + 0 · 2 1 · (−3) + 0 · 0
2 · (−4) + 7 · 2 2 · (−3) + 7 · 0



2

0





=



78 48
57 34

 =

 −4 −15

−4 −3
6 −6



A.1 Definiciones y teoría básicas

 −3
 2 −1 3

−4 2


0
5
1 −7 9

6
4

4

 =
 2 · (−3) + (−1) · 6 + 3 · 4
−4x + 2y

0 · (−3) + 4 · 6 + 5 · 4
1 · (−3) + (−7) · 6 + 9 · 4

3

8

3x + 8y

x
y

=

a)

b)

197

 =



 0

44−9

La matriz Identidad. Para un entero positivo n, la matriz n × n


 1 0 0 . . . 0

0 1 0 . . . 0
...
0 0 0 . . . 1

...



In =

es la matriz identidad. Según la Definición A.6, para toda matriz A,n × n,

También se comprueba con facilidad que si X es una matriz columna n× 1, entonces InX =
X.

AIn = InA = A

La matriz Cero. Una matriz,m× n, formada cuyos elementos son todos el número cero

se llama matriz cero y se representa con 0m×n; por ejemplo,





0
0





0 0
0 0

02×1 =

,

02×2 =

,

03×2 =



 0 0

0 0
0 0

y así sucesivamente. Cuando el tamaño de la matriz cero se puede deducir por el contexto,
o cuando se ha dado explíictamente con anterioridad, se suele prescrindir del subíndice que
indica el tamaño y se ecribe simplemente 0. Por ejemplo, si A y 0 son matrices de m × n,
entonces

A + 0 = 0 + A = A

Propiedad asociativa. Aunque no lo demostraremos, la multiplicación matricial es
asociativa. Si A es una matriz m × p, B una matriz p × r y C una matriz r × n, entonces

A(BC) = (AB)C

es una matriz de m×n. El paréntesis indica la prioridad en la operación. Así, A(BC) significa
que multiplicamos primero B y C y entonces hacemos el producto de A por el resultado
obtenido al multiplicar B y C. Nótese que la asociatividad indica que independeinetmente
de la prioridad en las operaciones, el resultado es el mismo.

198

Introducción a las Matrices

Propiedad distributiva. Si todos los productos están definidos, la multiplicación es

distributiva respecto la suma:

A(B + C) = AB + AC y (B + C)A = BA + CA

Determinante de una matriz. Con toda matriz cuadrada A, hay un número asociado
llamado determinante de la matriz que se representa mediante det A. La fórmula general
para calcular el determinate de la matriz cuadrada A de orden n es



a1σ(1)a2σ(2) ··· anσ(n

σ

donde el sumatorio está extendido a las n! permutaciones σ de los números (1, 2, . . . , n). Así,
si n = 3, las 3! = 6 permutaciones posibles de (1, 2, 3) son: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1),
(3, 1, 2) y (3, 2, 1). Por lo tanto, si A es 3 × 3 entonces

det A = a11a22a23 + a11a23a32 + a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 + a13a22a31.

Por lo general para matrices cuadradas de tamaño grande el cálculo del determinante
es una labor costosa cuando se hace a mano y el uso de ordenadores es aconsejable. Los
métodos ideados para el cálculo de determinantes mediante ordenadores (métodos numéricos)
no se basan en la definición, sino en ciertas propiedades de las matrices. En este curso sólo
habrá que calcular determinantes de matrices de tamaño 3 a lo más. Para ello la fórmula
de más arriba es suficiente. No obstante, hay una fórmula que permite reducir el cálculo del
determinante de una matriz n × n a la suma de n determinantes de matrices de tamaño
(n− 1)× (n− 1). Es la fórmula conocida como desarrollo del determinante por los elementos
de una fila y que se debe, aunque con una formulación mucho más general, a Laplace:

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin

en donde Aij = (−1)i+j det ˜Aij y ˜Aij es la matriz que se obtiene de A al quitar la i-ésima fila
y la j-esima columna.

Ejemplo 6. Determinante de una matriz cuadrada.

 3
 3

6 2
5 1
2
−1 2 4
6 2
5 1
2
−1 2 4

Así, si A =

det A = det

, y desarrollamos det A por los elementos de la primera fila:
 = 3 det


− 6 det

+ 2 det







2

5−1 2





5 1
2 4

1−1 4
= 3(20 − 2) − 6(8 + 1) + 2(4 + 5) = 18

2

Si A tiene uns fila (o columna) con muchos elementos cero, por nuestra comodidad debemos
desarrollar ese determinante por los elementos de esa fila (o columna).

A.1 Definiciones y teoría básicas

199

Definición A.7 (Rango de una matriz) .- Se define el rango de una matriz A, m × n,
como el tamaño de la mayor submatriz cuadrada de A con determinante distinto de cero

El cálculo del rango de una matriz es una tarea muy costosa cuando se quiere utilizar esta
definición. De hecho, casi nunca se utiliza. Veremos que mediante operaciones elementales
por filas se obtiene el rango de una matriz de una manera mucho más sencilla. Hay que
decir, no ob