PDF de programación - Programación: Multiplicación de un polinomio por un binomio

Programaci´on: Multiplicaci´on de un polinomio

por un binomio

Objetivos. Escribir una funci´on que multiplique un polinomio por un binomio.

Requisitos. Ciclos y otros elementos de programaci´on.

1. Arreglos en Python3 + NumPy. Hay que tener en cuenta que

en Python los ´ındices de elementos de arreglos empiezan en 0.

Para acostumbrarse a la sintaxis ejecute los siguientes comandos uno por uno:

a = array([10, 20, 30], dtype = double)

(∗ crear un arreglo con entradas 10, 20, 30 guardadas como n´umeros reales ∗)

len(a)

(∗ longitud del arreglo ∗)

a[0]

a[1]

(∗ obtener el valor del elemento con ´ındice 0 ∗)
(∗ obtener el valor del elemento con ´ındice 1 ∗)

a[1] = 70

(∗ modificar el valor del elemento con ´ındice 1 ∗)

(∗ ver el arreglo modificado ∗)

a
b = zeros((7,), dtype = double) (∗ crear un arreglo de 7 ceros ∗)

2. Guardar polinomios como arreglos de sus coeficientes. Vamos a representar los
polinomios como arreglos de sus coeficientes, empezando con el t´ermino independiente.
Por ejemplo, el polinomio

f(x) = 7x4 − 3x2 + 5x + 4

se guardar´a como un arreglo de n´umeros 4, 5, −3, 0, 7. En general, el polinomio

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ··· + an−1xn−1

guardamos como el arreglo con entradas a0, a1, a2, . . . , an−1. Aqu´ı n es el n´umero de
coeficientes, o sea la longitud del arreglo de coeficientes. En vez de n se puede usar la
variable d = n − 1, es decir, el grado del polinomio. N´otese que para todo ´ındice k de 0
a n − 1, el coeficiente de xk es ak.

Programaci´on: Multiplicaci´on de un polinomio por un binomio, p´agina 1 de 4

F´ormulas de multiplicaci´on de un polinomio por un binomio
(se recomienda deducirlas antes de la clase pr´actica)

3. F´ormulas para multilicar un polinomio de grado 3 por un binomio m´onico.
Sean f(x) un polinomio de grado 3 y g(x) un binomio m´onico, es decir, un binomio cuyo
coeficiente del grado mayor es 1:

coeficientes.

coeficientes.

g(x) = b + x.

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3,

Notemos que el polinomio f(x) es de grado 3 y por lo tanto tiene(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
En este caso el producto f(x)g(x) es de grado (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)
, esto es, tiene (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
Denotemos los coeficientes del producto f(x)g(x) por c0, c1, . . . ,(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)

¿cu´antos?

¿cu´antos?

:

?

c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 = (a0 + a1x + a2x2 + a3x3)(b + x).

?

Exprese los coeficientes c0, . . . , c4 a trav´es de a0, . . . , a3 y b:

c0 = (cid:124)
c1 = (cid:124)
c2 = (cid:124)
c3 = (cid:124)
c4 = (cid:124)

?

?

(cid:123)(cid:122)
(cid:123)(cid:122)
(cid:123)(cid:122)
(cid:123)(cid:122)
(cid:123)(cid:122)

?

?

?

(cid:125)
(cid:125)
(cid:125)
(cid:125)
(cid:125)

,

,

,

,

.

Se puede ver que las f´ormulas para c1, c2, c3 tienen la misma estructura:

ck = (cid:124)

(cid:123)(cid:122)

(cid:125)

,

para

(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)

≤ k < (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)

.

Las f´ormulas para los “coeficientes extremos” c0 y c4 son diferentes (“degeneradas”).

?

?

?

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4. F´ormulas para multiplicar un polinomio por un binomio m´onico.
Sean

Entonces el producto f(x)g(x) es de grado (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)

f(x) = a0 + a1x + . . . + an−1xn−1,

, esto es, tiene(cid:124)

g(x) = b + x.

(cid:123)(cid:122)

(cid:125)

coeficientes.

Denotemos por c0, . . . , cn los coeficientes del producto f(x)g(x):

c0 + c1x + ··· + cnxn = (a0 + a1x + . . . + an−1xn−1)(b + x).

?

¿cuantos?

Exprese los coeficientes c0, . . . , cn a trav´es de los coeficientes a0, . . . , an−1 y b.

c0 = (cid:124)
ck = (cid:124)
cn = (cid:124)

(cid:125)
(cid:123)(cid:122)
(cid:125)

?

(cid:123)(cid:122)

?

(cid:123)(cid:122)

?

;

.

(cid:125)

para

(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)

≤ k < (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)

;

?

?

5. Algoritmo MulPolBinom (pseudoc´odigo).

funci´on MulPolBinom(a, b):

variables locales: n, c, k;

(cid:123)(cid:122)

n := longitud(a);

(cid:125)
c := arreglo nulo de longitud (cid:124)
c0 := (cid:124)
para cada k en el intervalo entero(cid:2)(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)

(cid:123)(cid:122)

(cid:125)

;

;

?

?

(cid:1):

,(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)

(cid:125)

?

?

;

ck := (cid:124)
cn := (cid:124)
(cid:123)(cid:122)
(cid:125)
regresar (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)

?

;

(cid:123)(cid:122)

?

.

?

Programaci´on: Multiplicaci´on de un polinomio por un binomio, p´agina 3 de 4

Programar la multiplicaci´on de un polinomio por un binomio
en alg´un lenguaje de programaci´on

6. Problema MulPolBinom.
Traduzca el algoritmo MulPolBinom a un lenguaje de programaci´on. En otras palabras,
escriba una funci´on que calcule los coeficientes del producto de un polinomio f(x) por un
binomio b + x.

Entrada (argumentos de la funci´on): a, b,
donde a es el arreglo de los coeficientes de f(x).

Salida (que debe regresar la funci´on): el arreglo de los coeficientes del producto.

Por ejemplo, en Python3 + NumPy la funci´on MulPolBinom se puede definir de la si-
guiente manera (hay que sustituir . . . por expresiones apropiadas):

Programa 1: MulPolBinom

1 from numpy import *

def MulPolBinom(a, b):

n = len(a)
c = ...
c[0] = ...
...

...
return c

6

11

print(MulPolBinom(array([7, -2, 4, -5]), 3))
print(MulPolBinom(array([3, -7, 5]), 3))

# test 2

# test 1

7. Primera comprobaci´on. Es f´acil ver que

(7 − 2x + 4x2 − 5x3)(3 + x) = 21 + x + 10x2 − 11x3 − 5x4,

Por eso el comando

print(MulPolBinom[array([7, -2, 4, -5]), 3])

debe imprimir en la pantalla el arreglo 21, 1, 10, -11, -5.

8. Segunda comprobaci´on. Multiplique a mano el polinomio 5x2 −7x+3 por el binomio
x + 2. Luego calcule MulPolBinom[array([3, -7, 5]), 2].

Programaci´on: Multiplicaci´on de un polinomio por un binomio, p´agina 4 de 4