PDF de programación - Introducción a los Métodos Numéricos

INTRODUCCIÓN a los
MÉTODOS NUMÉRICOS.
Implementaciones en Basic (LibreOffice, Excel)
y wxMaxima.Actualización parcial: Febrero 2013.

Prof. Walter Mora F.,
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica.
(www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

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2

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Mora Flores, Walter.
Introducción a los métodos numéricos. Implementaciones en
Basic-Calc de Libre
Office y wxMaxima
.

1ra ed.

– Escuela de Matemática,Instituto Tecnológico de Costa Rica. 2010.

366 pp.

ISBN Obra Independiente: 978-9968-641-13-5

1. Métodos Numéricos. 2. Programación 3. Algoritmos.

Contenido

Prefacio

1

2

Aritmética del Computador y Errores
1.1

Introducción
Ejercicios
Aritmética del computador.
Cancelación
Propagación del Error
Ejercicios

1.2
1.3
1.4

Interpolación Polinomial. Aspectos Prácticos
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

Introducción
Interpolación polinomial.
Forma de Lagrange del polinomio interpolante.
Forma modificada y forma baricéntrica de Lagrange.
Forma baricéntrica con nodos igualmente espaciados.
Ejercicios
Forma de Newton para el polinomio interpolante.
Diferencias Divididas de Newton.
Forma de Newton en el caso de nodos igualmente espaciados.
Ejercicios
Forma de Lagrange vs Forma de Newton.
Estimación del error.
Error en interpolación lineal.
Error en interpolación cuadrática
Error en interpolación cúbica

2.6
2.7
2.8

2.9
2.10
2.11
2.12
2.13

9

1
1
3
3
5
9
12

14
14
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32
32
34
35
35

3

4

CONTENIDO

Error con interpolación con polinomios de grado n.

2.14
2.15 Otros casos.
2.16

Interpolación Iterada de Neville
2.16.1 Algoritmo
Ejercicios
Trazadores Cúbicos (Cubic Splines).
Ejercicios

2.17

2.18 Algoritmos e implementación con Basic de OpenOffice o de LibreOffice, y Calc.

2.18.1 Forma de Lagrange del polinomio interpolante
Ejercicios
Forma modificada y forma baricéntrica de Lagrange.
Ejercicios
Forma de Newton del polinomio interpolante.
Ejercicios
Trazadores cúbicos
Ejercicios

2.19

2.20

2.21

Interpolación. Aspectos Teóricos.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

Forma de Lagrange para el polinomio interpolante.
Forma de Lagrange modificada y forma baricéntrica de Lagrange.
Forma de Newton para el polinomio interpolante.
Estimación del error.
Polinomios de TChebyshev y convergencia.
Ejercicios

Ecuaciones no lineales.
4.1

Orden de convergencia
Ejercicios

3

4

4.2 Método de Punto Fijo
4.3

4.4
4.5
4.6
4.7

Punto Fijo. Algoritmo e Implementación.
Ejercicios
Punto Fijo: Aspectos Teóricos.
El método de Bisección
Algoritmo e Implementación.
Bisección: Criterio de Parada y Número de Iteraciones.
Ejercicios
Bisección: Teorema de Convergencia. Orden de Convergencia.
Acerca del Criterio de Parada en métodos iterativos.
El Método de Newton

4.8
4.9
4.10
4.11 Método de Newton: Algoritmo e Implementación.

Ejercicios

4.12 Método de Newton: Teorema de Convergencia. Orden de Convergencia.

Ejercicios

4.13 Método de Newton: Estimación del error
4.14 Métodos de Orden Cúbico. Método de Euler.

Ejercicios

37
37
38
40
41
42
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53
54
56
56
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105
106
108
113
116
119
123
126
130
131

4.15 Un método h´ibrido: Newton-Bisección.

4.16

4.15.1 Algoritmo e Implementación en VBA Excel.
Ejercicios
El Método de la Falsa Posición
4.16.1 Algoritmo.
4.16.2 Teorema de Convergencia. Orden de Convergencia.
Ejercicios

4.17 Método de la Secante

4.18

4.17.1 Algoritmo e Implementación en VBA Excel.
Secante: Teorema de Convergencia. Orden de Convergencia.
Ejercicios
Secante: Orden de convergencia.

4.19
4.20 Un Método H´ibrido: Secante-Bisección
4.21 Híbrido: Algoritmo e Implementación.

4.22
4.23

Ejercicios
Interpolación Inversa.
Interpolación Cuadrática Inversa.
4.23.1 Algoritmo e Implementación en Excel.

Integración Numérica.
5.1
5.2

Introducción
Fórmulas de Newton-Cotes.
Ejercicios
Regla del Trapecio.
Ejercicios
Trapecio: Algoritmo e Implementación.
Regla del Simpson.
Simpson: Algoritmo e Implementación.
Ejercicios

5.3

5.4
5.5
5.6

5.7 Método de Romberg.

5.7.1

Extrapolación de Richardson.

5.8 Método de Romberg

5.9
5.10

Algoritmo e Implementación en VBA Excel.

5.8.1
Cuadratura Gaussiana.
Integrales Impropias.
Ejercicios

Algoritmo e implementación con WXMAXIMA.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
6.1 Método de Euler
6.2
6.3 Métodos de Taylor de orden superior.
6.4
6.5 Métodos de Runge-Kutta.
6.6

Algoritmo e implementación con WXMAXIMA.
Ejercicios
Algunos Detalles Teóricos.

6.7

Algoritmo e implementación con WXMAXIMA.

5

6

CONTENIDO

5

133
134
136
136
137
138
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141
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187

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198
199
199
199

6

CONTENIDO

6.8

Estimación del error

Apéndice A: Programación con LibreOffice Basic (=OOoBasic).

A.1

A.2
A.3
A.4

A.5

A.6

Crear una biblioteca.

Exportar una biblioteca.
Cargar una biblioteca
Importar una biblioteca.

Editar y ejecutar una macro.
Subrutinas y funciones.
Variables.
Constantes
Operadores
Ciclos.
Condicionales.

Preliminares: Macros, funciones y subrutinas.
A.1.1
A.1.2
A.1.3
A.1.4
A.1.5
A.1.6
A.1.7
Leer e imprimir en una celda.
Ejecutar una subrutina (o una función) desde un botón.
Crear, exportar, importar y cargar bibliotecas.
A.4.1
A.4.2 Agregar un nuevo módulo.
A.4.3
A.4.4
A.4.5
Subrutinas y funciones
A.5.1
A.5.2 Manejo de errores.
A.5.3 Usando la funciones de OOo Calc en OOo Basic.
A.5.4 Un evaluador de funciones matemáticas (“Math Parser”).
A.5.5 Vectores, matrices y rangos.
A.5.6
A.5.7
A.5.8
Bibliotecas especiales.
A.6.1
A.6.2 Algunas funciones especiales
A.6.3
Gráficos.

Funciones que reciben o devuelven arreglos.
Rangos.
Funciones para operaciones con matrices.

Pasar parámetros a una subrutina o una función.

Funciones y subrutinas misceláneas

Biblioteca BblMatematica de funciones de uso frecuente.

A.7
A.8 Modelo de Objetos de OOo.

B.2

B.1

B.3

Apéndice B: Conocimientos Previos
Inducción Matemática
Ejercicios
Funciones continuas. Máximos y m´inimos absolutos.
Ejercicios
Teorema de Taylor
Ejercicios
Notación O de Landau
B.4.1
Ejercicios
Sucesiones
Ejercicios

Propiedades de o(g) . Cálculo de límites.

B.4

B.5

201

203
204
204
207
208
212
213
214
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262
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264
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275
276
277
277
278

Ejercicios
Teorema del valor medio para integrales

B.6

Apéndice C: Bits y Bytes

Apéndice D: ¿Porqué 1.0000000... = 0.999999... ?

Apéndice E: Programación Visual Basic (VBA) para Excel

E.1
E.2

E.3
E.4

E.5

E.6

Funciones definidas por el usuario
Errores comunes
Evaluando una función en varios tipos de parámetros

Introducción
Funciones
Funciones en VBA y Funciones en Excel.
Algunas Propiedades de las Celdas

Flujo secuencial
Flujo condicional (If-Then-Else)
Flujo repetitivo ( For-Next, While-Wend, Do While-Loop)
Declaración de variables en un programa
Tipos de datos

Introducción
Evaluación de funciones
E.2.1
E.2.2
E.2.3
Gráficas
Programación de macros
E.4.1
E.4.2
E.4.3
E.4.4
Elementos de programación en VBA
E.5.1
E.5.2
E.5.3
E.5.4
E.5.5
E.5.6 Manejo de rangos
E.5.7
E.5.8
E.5.9 Matrices dinámicas
Ejercicios
E.5.10 Inclusión de procedimientos de borrado
Ejercicios
Evaluando expresiones matemáticas escritas en lenguaje matemático común
E.6.1
E.6.2
Ejercicios
E.6.3
Ejercicios
Ejercicios
E.6.4

Subrutinas. Edición y ejecución de una subrutina
Ejecución de una subrutina mediante un botón

Usando clsMathParser. Sintaxis
Ejemplo: un graficador 2D

Ejemplo: un graficador de superficies 3D

Campos de Texto.

Bibliografía

Solución de los Ejercicios

Soluciones del Capítulo 1
Soluciones del Capítulo 2
Soluciones del Capítulo 3

CONTENIDO

7

282
283

284

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344
344

347

348
348
349
354

8

Soluciones del Capítulo 4
Soluciones del Capítulo 5

354
355

Prefacio

El propósito de este libro es la implementación de métodos numéricos básicos usando la hoja electrónica de LibreOf-
fice (ver apéndice A). Por supuesto, también se puede usar con Calc de OpenOffice y, con algunos cambios pequeños,
se puede usar con VBA Excel. También se hace implementaciones con wxMaxima y a veces con Wolfram Mathemat-
ica. El curso esta orientado a estudiantes con poco o casi ningún conocimiento de programación. Usar la hoja elec-
trónica es ventajoso pues permite tener los datos en un ambiente natural y conocido y aplicar métodos numéricos con
una macro programando en un lenguaje sencillo, natural y muy amigable (lo cual no siempre es bueno). Sin embargo,
estas hojas electrónicas tienen sus limitaciones y, en algun momento se debe pasar a usar software simbólico, digamos
wxMaxima u Octave. También