PDF de programación - Programación: normas matriciales 1 e infinito

Programaci´on: normas matriciales 1 e ∞

Objetivos. Programar las funciones que calculen las normas matriciales asociadas a las
normas vectoriales (cid:107) · (cid:107)1 y (cid:107) · (cid:107)∞.

Requisitos. Normas matriciales, programaci´on de funciones, ciclos for, entradas de ma-
trices.
1. F´ormulas. Dada una matriz A ∈ Mm×n(R), sus normas matriciales (cid:107) · (cid:107)matr,1 y
(cid:107) · (cid:107)matr,∞ se pueden calcular mediante las siguiente f´ormulas:

n(cid:88)

k=1

|Aj,k|.

(cid:107)A(cid:107)matr,1 = max
1≤k≤n

|Aj,k|,

(cid:107)A(cid:107)matr,∞ = max
1≤j≤m

m(cid:88)

j=1

2. Problema: la norma matricial 1. En alg´un lenguaje de programaci´on escribir una
funci´on que calcule la norma (cid:107)A(cid:107)matr,1 de la matriz dada A. Una posible soluci´on en el
lenguaje de MATLAB:

function result = matrixnorm1(A),

[m, n] = size(A);
result = 0;
for k = 1 : n,

s = 0;
for j = 1 : m,

s = s + ???;

end
result = max(result, s);

end

end

3. Problema: calcular la norma matricial 1 usando las funciones sum y max
de manera eficiente. Estudie la sintaxis de la funci´on sum del lenguaje MATLAB.
¿Qu´e pasa al aplicar esta funci´on a una matriz? Ejecute los siguientes comandos:

A = [3 4 5; 11 12 13; 51 52 53];
sum(A)
sum(A, 2)

Usando las funciones sum y max escriba la funci´on matrixnorm1 de manera m´as breve y
m´as eficiente, evitando ciclos.

Programaci´on: normas matriciales 1 e ∞, p´agina 1 de 2

4. Problema: la norma matricial ∞. En alg´un lenguaje de programaci´on escribir una
funci´on que calcule la norma (cid:107)A(cid:107)matr,∞ de la matriz dada A.

function result = matrixnorminf(A),

[m, n] = size(A);
...

end

5. Pruebas con matrices peque˜nas. Soluci´on en el lenguaje de MATLAB (guardar en
el archivo testmatrixnormsmall.m):

function [] = testmatrixnormsmall(),

A = [3 -4; -5 1];
display([matrixnorm1(A), norm(A, 1)]);
display([matrixnorminf(A), norm(A, Inf)]);

end

6. Pruebas con matrices grandes. Soluci´on en el lenguaje de MATLAB (guardar en
el archivo testmatrixnormlarge.m):

function [] = testmatrixnormlarge(),

for n = [256, 512, 1024, 2048, 4096],

display(n);
A = 2 * rand(n, n) - ones(n, n);
t = cputime();
r = matrixnorm1(A);
t1 = cputime() - t;
t = cputime();
r = matrixnorminf(A);
tinf = cputime() - t;
display([t1 tinf]);

end

end

Despu´es de ejecutar esta funci´on se recomienda corregirla de la siguiente manera: en vez
de n = 256, . . . , 4096 poner tales valores de n (por ejemplo, algunas potencias de 2) para
los cuales el tiempo de ejecuci´on es de 10−2 segundos a 102 segundos.
¿C´omo se cambia el tiempo de ejecuci´on al multiplicar n por 2?

Programaci´on: normas matriciales 1 e ∞, p´agina 2 de 2