PDF de programación - Proyecto MaTEX Aplicación de las Derivadas

Proyecto MaTEX
Aplicación de

las Derivadas
Fco Javier González Ortiz

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c 2004 [email protected]
11 de junio de 2004

Versin 1.00

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MATEMATICAS2º BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdCIENCIASCIENCIAS Tabla de Contenido

1. Extremos de funciones

1.1. Máximos y mínimos absolutos o globales

• Puntos Críticos. • Método de búsqueda de extremos globales
1.2. Máximos y mínimos relativos o locales
• Crecimiento y decrecimiento de funciones

2. Test de máximos y mínimos con la 1a derivada
3. La derivada segunda.Curvatura

3.1. Clasificación Máximos y mínimos con f00
3.2. Punto de Inflexión

4. Teoremas de funciones derivables

4.1. Teorema de Fermat
4.2. Teorema de Rolle
4.3. Teorema del Valor Medio
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

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1. Extremos de funciones
1.1. Máximos y mínimos absolutos o globales

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a; b], alcanza un

máximo y un mínimo en dicho intervalo.
Observa las siguientes gráficas:

M

M

a

b

a

b

a

M

b

El máximo y el mínimo absoluto solamente pueden estar situados:

a) En puntos donde f0(x) = 0.
b) En puntos donde f0(x) no está definida.
c) O en los extremos del intervalo

Interesa por tanto determinar los puntos donde la derivada valga cero o bien
no esté definida. A estos puntos los llamaremos puntos críticos.

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• Puntos Críticos.
Definición 1.1 Decimos que c es un punto crítico cuando

f0(c) = 0

o

f0(c) no existe

Se entiende que la función f debe ser continua en c.
• Método de búsqueda de extremos globales

4

Para la búsqueda de los extremos globales de una función f continua en

el intervalo cerrado I = [a, b] seguiremos los siguientes pasos:

1. Buscamos los puntos críticos de f en [a, b], esto es, los puntos en que

f0(x) = 0 o f0(x) no existe. Estos puntos serán x1, x2,··· , xn

2. Añadimos a esa lista los extremos del intervalo [a, b],

a, x1, x2,··· , xn, b

3. Evaluamos la función en todos los puntos de esa lista.
I Atención : Si la función no es continua
el método anterior no es válido, ya que los
valores de la función en los puntos críticos
no determinan nada.

a

c

b

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Ejemplo 1.1. Encontrar los puntos críticos f(x) = x2 − 1 en el intervalo
[−1, 2]
Solución: Hallamos f0, f0(x) = 2x como

f0(x) = 2 x = 0 =⇒ x = 0

se tiene que el punto c = 0 es un punto crítico de f en [−1, 2].

Ejemplo 1.2. Encontrar los puntos críticos f(x) = x2 − 1 en el intervalo
[1, 2]
Solución: Hallamos f0, f0(x) = 2x como

f0(x) = 2 x = 0 =⇒ x = 0

como c = 0 6∈ [1, 2] la función f no tiene puntos críticos en [1, 2].
Ejemplo 1.3. Encontrar los puntos críticos en el intervalo [−1, 1] de



Solución: Siendo

Hallamos f0,

f(x) =

f0(x) =

f(x) = |x|

−x x ≤ 0
−1 x < 0

x > 0

x

1

x > 0

Como f0(0−) = −1 y f0(0+) = 1 son distintas, f0(0), no existe y x = 0 es el
único punto crítico de f en [−1, 1].


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Ejemplo 1.4. Encontrar en el intervalo [−1, 2] los valores extremos de

f(x) = x2 − 1

Solución:
Hallamos f0, f0(x) = 2 x como
f0(x) = 2 x = 0 =⇒ x = 0

se tiene que el punto c = 0 es el
único punto crítico de f en [−1, 2].
Realizamos una tabla con los ex-
tremos del intervalo y los críticos
encontrados

x

f(x)

−1
0
0 −1

2
3

Los valores extremos absolutos en
[−1, 2] son:

xmin = 0

xmax = 2

M

−1

m

2

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Ejemplo 1.5. Encontrar los valores extremos en el intervalo [−1, 1] de

f(x) = |x|

Solución:

Siendo

f(x) =

f0(x) =

−x x ≤ 0
−1 x < 0

x > 0

x > 0

x

1

Los valores extremos en [−1, 1]
son:
xmin = 0

xmax1 = −1

xmax2 = 1

f0(0), no existe y x = 0 es el único
punto crítico de f en [−1, 1].

x

f(x)

−1
1

0
0

1
1

M

m

−1

1

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Ejercicio 1. Encontrar en el intervalo [−1, 2] los valores extremos de

Ejercicio 2. Encontrar en el intervalo [−2, 2] los valores extremos de

f(x) =

f(x) =

1 − |x|
1 + |x|

|1 + x|
1 + x2

Test. Responde a las siguientes preguntas.

1. Si la tangente a f(x) en el punto (a, f(a)) es horizontal, entonces se

cumple que f0(a) = 0
(a) Verdadero

(a) Verdadero

(a) Verdadero

(b) Falso

(b) Falso

(b) Falso

2. Si existen f0(a−) y f0(a+) entonces existe f0(a)

3. Si x = a es un extremo local de f entonces f0(a) = 0

4. Si x = a es un extremo global de f entonces f0(a) = 0

(a) Verdadero

(b) Falso

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1.2. Máximos y mínimos relativos o locales
Definición 1.2 (Extremos Locales) Sea f una función continua definida
en [a, b], y sea c ∈ [a, b],
1. Mínimo Local Decimos que c es un mínimo local de f si hay un intervalo

abierto J conteniendo a c donde se verifica

f(x) ≥ f(c)

x ∈ J ∩ [a, b]

2. Máximo Local Decimos que c es un máximo local de f si hay un inter-

valo abierto J conteniendo a c donde se verifica
x ∈ J ∩ [a, b]

f(x) ≤ f(c)

Definición 1.3 (Extremos Globales) Sea f una función con Dom(f), y
sea c ∈ Dom(f),
1. Mínimo Global Decimos que c es un mínimo global de f en Dom(f), si

2. Máximo Global Decimos que c es un máximo global de f en Dom(f),

verifica

si verifica

f(x) ≥ f(c)

∀x ∈ Dom(f)

f(x) ≤ f(c)

∀x ∈ Dom(f)

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En el gráfico se representa una función y = f(x) continua en el intervalo

[a, b], y se detallan los extremos locales y globales:

M

m

a

x1

x2

x3

x4

b

x1 mínimo global
x3 mínimo local

x2 máximo local
x4 máximo global

I Atención Observar que en los extremos locales la derivada vale cero o no
existe. Vamos a llamar a estos puntos críticos.

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• Crecimiento y decrecimiento de funciones
I La función f es estrictamente creciente en el intervalo I si cumple

Sea f una función definida en un intervalo I

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x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2)

I La función f es estricta-
mente decreciente en el inter-
valo I si cumple

x1 < x2 =⇒ f(x1) > f(x2)

creciente

decreciente

Una
función monótona es
aquella que es estrictamente
creciente o estrictamente decre-
ciente. El análisis de la mono-
tonía de una función si se hace
de forma algebraica suele ser
complicado . El estudio del signo de la derivada nos permite estudiar la mono-
tonía de una forma más sencilla.

decreciente

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Teorema 1.1. (Test de Monotonía) Sea f(x) una función continua en el
intervalo I = [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).
Test de crecimiento Si f0(x) > 0
en el intervalo (a, b), entonces f es
estrictamente creciente en [a, b].

Test de decrecimiento Si f0(x) < 0
en el intervalo (a, b), entonces f es
estrictamente decreciente en [a, b].

x0

x1 x2

x0

x1 x2

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Ejemplo 1.6. Estudiar la monotonía de la función f(x) = x2 − 1 en el
intervalo [−1, 2]
Solución: Hallamos f0, f0(x) = 2x como f0(x) = 0 =⇒ x = 0, se tiene

x −∞
y’
y

0

− 0 +
& 0 %

+∞

La función es estr. decreciente en [−1, 0) y estr. creciente en (0, 2). El


punto x = 0 es un mínimo local y global en el intervalo [−1, 2].
Ejercicio 3. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

a) f(x) = x4 − 2x2

b) g(x) = 4x3 − x4

Ejercicio 4. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

a) f(x) =

1

x − 2

b) g(x) = x3 − 2x2 + 1

Ejercicio 5. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

a) f(x) = x2 − ln x2

b) g(x) =

1

(x + 1)(x − 4)

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2. Test de máximos y mínimos con la 1a derivada

Teorema 2.1. (Test de Clasificación de Puntos Críticos) Sea f(x) una fun-
ción y c un punto crítico de f

a) Test de Máximo Local Si f0 es positiva a la izquierda de c y f0 es neg-

ativa a la derecha de c, entonces c es un máximo local.

b) Test de Mínimo Local Si f0 es negativa a la izquierda de c y f0 es pos-

itiva a la derecha de c, entonces c es un